Weit herauszoomen
Zoomst du weit heraus, verschwinden Hoch- und Tiefpunkte. Übrig bleiben zwei Äste nach links und nach rechts.
- Globalverlauf:Verlauf des Graphen, wenn du sehr weit herauszoomst.
- Globalverhalten:wohin \(f(x)\) strebt, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird.
- Schreibweise:\(\lim_{x\to\infty}f(x)\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
- Sprechweise:„\(x\) geht gegen unendlich“ heißt: \(x\) wächst über jede Schranke.
Von links nach rechts wird der dargestellte Bereich immer größer. Hoch- und Tiefpunkt schrumpfen dabei optisch zusammen, bis nur noch zwei Äste übrig bleiben.
- Beispiel:bei \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\) schrumpfen \(H(1\mid 4)\) und \(T(3\mid 0)\) beim Zoomen zu einer kleinen Delle.
Das Applet zeigt immer \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\). Zieh den Regler langsam nach rechts und beobachte Hoch- und Tiefpunkt.
Den Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten steuern.
Nah dran: Hochpunkt und Tiefpunkt sind deutlich zu erkennen.
Halte fest: Die Funktion bleibt gleich, nur der Ausschnitt wächst. Am Ende bleiben zwei Äste: links nach unten, rechts nach oben.
Globalverhalten: Es beschreibt, wohin \(f(x)\) strebt, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird; geschrieben \(\lim_{x\to\infty}f(x)\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
Globalverlauf: Beim weiten Herauszoomen verschwinden Hoch- und Tiefpunkte, es bleiben zwei Äste.
Sprechweise: „\(x\) geht gegen unendlich“ heißt, \(x\) wächst über jede Schranke.
Der Leitkoeffizient entscheidet
Weit draußen erdrückt der Summand mit der höchsten Potenz alle anderen. Er heißt Leitterm.
- Leitterm:\(a_{n}x^{n}\); \(a_{n}\) heißt Leitkoeffizient, \(n\) ist der Grad.
- Ausklammern:\(f(x)=a_{n}x^{n}\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x}+\dots+\frac{a_{0}}{a_{n}x^{n}}\right)\).
- Für \(|x|\to\infty\):jeder Bruch in der Klammer geht gegen 0, die Klammer gegen 1.
- Folge:übrig bleibt \(a_{n}x^{n}\).
- Beispiel:bei \(x=1000\) ist \(x^{3}\) schon \(10\,000\)-mal so groß wie \(100x\).
Vergleich der Beträge von x³ und 100x an drei Stellen. Bei x = 1 führt noch 100x, bei x = 10 sind beide gleich, ab da zieht x³ unaufholbar davon. Die Balkenlängen sind logarithmisch skaliert, sonst wäre der letzte Balken meterlang.
Leitterm: für große \(|x|\) verhält sich \(f(x)\) wie \(a_{n}x^{n}\)
Begriff: \(a_{n}x^{n}\) ist der Summand mit der höchsten Potenz; \(a_{n}\) ist der Leitkoeffizient, \(n\) der Grad.
Begründung: Nach dem Ausklammern gehen alle Brüche in der Klammer gegen 0 und die Klammer gegen 1.
Die vier Verläufe
Nur zwei Angaben zählen: das Vorzeichen von \(a_{n}\) und ob \(n\) gerade oder ungerade ist. Das ergibt genau vier Fälle.
- Grad gerade:beide Äste zeigen in dieselbe Richtung, weil \((-x)^{n}=x^{n}\).
- Grad ungerade:die Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen, weil \((-x)^{n}=-x^{n}\).
- \(a_{n}>0\):der rechte Ast zeigt nach oben.
- \(a_{n}<0\):das ganze Bild ist an der \(x\)-Achse gespiegelt.
Spalten: Grad gerade oder ungerade. Zeilen: Leitkoeffizient positiv oder negativ. Jede Zelle zeigt eine typische Kurve und die beiden zugehörigen Grenzwerte.
| n gerade | n ungerade | |
|---|---|---|
| aₙ > 0 | x → +∞: f(x) → +∞ x → −∞: f(x) → +∞ | x → +∞: f(x) → +∞ x → −∞: f(x) → −∞ |
| aₙ < 0 | x → +∞: f(x) → −∞ x → −∞: f(x) → −∞ | x → +∞: f(x) → −∞ x → −∞: f(x) → +∞ |
Globalverhalten: bestimmt allein durch das Vorzeichen von \(a_{n}\) und die Parität von \(n\)
Grad: Bei geradem Grad zeigen beide Äste in dieselbe Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte.
Leitkoeffizient: Bei \(a_{n}>0\) zeigt der rechte Ast nach oben, bei \(a_{n}<0\) ist das Bild an der \(x\)-Achse gespiegelt.
Dreh an den beiden Stellschrauben Leitkoeffizient und Grad. Im Übungsmodus klickst du auf „Neue Aufgabe“, stellst zum Term oben rechts die passende Einstellung ein und prüfst sie.
Noch keine Aufgabe gestartet.
Halte fest: Es gibt genau vier Globalverläufe. Der Grad entscheidet über gleiche oder entgegengesetzte Richtung, \(a_{n}\) über oben oder unten.
Anwenden Schritt für Schritt
Drei kurze Schritte führen zu beiden Grenzwerten. Die übrigen Summanden brauchst du dafür nicht.
- Schritt 1:den Summanden mit der höchsten Potenz suchen, er steht nicht immer vorn.
- Schritt 2:Grad \(n\) ablesen: gerade oder ungerade?
- Schritt 3:Vorzeichen von \(a_{n}\) ablesen und beide Grenzwerte notieren.
- Beispiel:\(f(x)=-x^{3}-2x+7\): \(n=3\), \(a_{3}=-1\), also \(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\).
Zu jedem Term der schematische Verlauf. Nur der Leitterm bestimmt, in welche der vier Kategorien die Funktion fällt.
Grenzwerte bestimmen: Drei Schritte führen zu beiden Grenzwerten, die übrigen Summanden werden nicht gebraucht.
1. Leitterm: Den Summanden mit der höchsten Potenz suchen; er steht nicht immer vorn.
2. und 3.: Grad \(n\) (gerade oder ungerade) und Vorzeichen von \(a_{n}\) ablesen und beide Grenzwerte notieren.
Allgemeine Hinweise
Nur weit draußen
Nahe dem Ursprung kann jeder Summand vorn liegen. Der Globalverlauf gilt nur für große \(|x|\).
Leitterm suchen
Die höchste Potenz steht nicht immer vorn. Ordne den Term oder suche gezielt den größten Exponenten.
Sicherheitscheck
Passt deine Skizze nicht zum Leitterm, steckt irgendwo ein Fehler. Über Null- oder Extremstellen sagt der Globalverlauf nichts.