Anzahl der Nullstellen: Übungen – Mathe Klasse 11

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben rund um die Frage, wie viele Nullstellen eine ganzrationale Funktion haben kann und wie ihr Graph an jeder einzelnen aussieht. Geordnet nach steigendem Anforderungsniveau — jede gelöste Aufgabe färbt sich und wandert in die Fortschrittsleiste.

1Faktoren nach ihrer Vielfachheit sortierenAFB I

Ordnen Sie jeden Faktor dem Verhalten zu, das der Graph an der zugehörigen Nullstelle zeigt. Entscheidend ist allein der Exponent.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1einfach — Graph schneidet

2doppelt — Graph berührt

3dreifach — Sattelpunkt

Der Exponent des Linearfaktors ist die Vielfachheit, und die Vielfachheit entscheidet über das Bild: ungerade Vielfachheit heißt Vorzeichenwechsel, der Graph geht durch die Achse; gerade Vielfachheit heißt kein Vorzeichenwechsel, der Graph tippt die Achse nur an. Bei Vielfachheit 3 kommt zum Durchgang noch eine waagerechte Tangente — der typische Sattelpunkt.

2Der Satz über die Anzahl der NullstellenAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Wörter tragen den ganzen Satz. „Höchstens \(n\)“ begrenzt die Anzahl nach oben — mehr Nullstellen als der Grad geht nie. Und „mindestens eine bei ungeradem Grad“ ist eine Existenzaussage, die aus dem Globalverhalten folgt, nicht aus einer Rechnung.

3Die Fachsprache der VielfachheitAFB I

Setzen Sie die Begriffe so ein, dass ein korrekter Text entsteht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der , mit dem ein Linearfaktor im Produkt steht, heißt seine . Ist sie 1, so der Graph die \(x\)-Achse. Ist sie gerade, so er die Achse, ohne das Vorzeichen zu wechseln. Ist sie 3, entsteht ein auf der \(x\)-Achse. Zählt man alle Vielfachheiten zusammen, erhält man den der Funktion — und deshalb hat eine Funktion vom Grad \(n\) \(n\) Nullstellen.

Der letzte Satz ist der eigentliche Grund für den ganzen Satz: Weil die Summe der Vielfachheiten nie größer sein kann als der Grad, kann auch die Anzahl der verschiedenen Nullstellen den Grad nicht überschreiten. Jede mehrfache Nullstelle „verbraucht“ mehrere Linearfaktoren und senkt damit die mögliche Anzahl verschiedener Nullstellen.