Der Satz
Wie viele Nullstellen möglich sind, verrät schon der Grad. Du musst dafür keine Gleichung lösen.
Anzahl der Nullstellen: Grad \(n\) ⇒ höchstens \(n\) Nullstellen; \(n\) ungerade ⇒ mindestens eine Nullstelle
Ungerader Grad: Die Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen, daher kreuzt der Graph die \(x\)-Achse mindestens einmal.
Gerader Grad: Es gibt keine Garantie; \(x^{2}+1\) hat keine Nullstelle.
- Obergrenze:bei Grad 4 nie fünf Nullstellen, weniger sind immer möglich.
- Ungerader Grad:die Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen.
- Folge:der Graph muss die \(x\)-Achse mindestens einmal kreuzen.
- Gerader Grad:keine Garantie, z. B. hat \(x^{2}+1\) keine Nullstelle.
Links ein Graph vom Grad 3: die Äste laufen auseinander, der Graph muss die Achse kreuzen. Rechts ein Graph vom Grad 4: beide Äste laufen nach oben, der Graph kann vollständig oberhalb der Achse bleiben.
Die Vielfachheit
Die Vielfachheit sagt, wie der Graph an einer Nullstelle aussieht. Sie ist der Exponent des zugehörigen Linearfaktors.
- Vielfachheit:Exponent \(k\) von \((x-x_{0})^{k}\) im Term.
- Vorzeichenwechsel:\(f(x)\) wechselt an der Nullstelle das Vorzeichen, kurz VZW.
- Einfach:der Graph schneidet die Achse, mit VZW.
- Doppelt:der Graph berührt die Achse, dort liegt ein Extrempunkt, kein VZW.
- Dreifach:der Graph schneidet mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt), mit VZW.
Alle drei Kurven haben an derselben Stelle eine Nullstelle. Nur die Vielfachheit ist verschieden — und damit das Verhalten an der Achse. Die Zeichen „\(+\)“ und „\(-\)“ geben das Vorzeichen der Funktionswerte links und rechts der Nullstelle an.
Vielfachheit: gerade ⇒ Berühren ohne VZW; ungerade ⇒ Schneiden mit VZW
Definition: Die Vielfachheit ist der Exponent \(k\) des Linearfaktors \((x-x_{0})^{k}\).
Fälle: Einfach schneidet der Graph die Achse, doppelt berührt er sie (Extrempunkt), dreifach schneidet er mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt).
Die Nullstellen liegen fest bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Gib jeder per Klick eine Vielfachheit von 1 bis 3 und schalte das Vorzeichen von \(a\) um.
Bedienung mit der Tastatur im Koordinatensystem: Pfeil links und rechts wählen die Nullstelle, Pfeil hoch und runter ändern ihre Vielfachheit, Enter dreht das Vorzeichen von a um.
Halte fest: Die Nullstellen bleiben an ihrem Platz, nur die Form ändert sich. Der Grad ist die Summe der drei Vielfachheiten.
Am Term ablesen
Im Produktterm verrät die Klammer die Stelle, der Exponent die Vielfachheit.
- Beispiel:\(f(x)=(x+1)^{2}\cdot(x-1)^{3}\cdot(x-2)\).
- \(x_{1}=-1\):doppelt: der Graph berührt die Achse.
- \(x_{2}=1\):dreifach: Sattelpunkt auf der Achse.
- \(x_{3}=2\):einfach: der Graph schneidet die Achse.
- Grad:\(2+3+1=6\), ohne Ausmultiplizieren.
- \(x^{2}\):ist \((x-0)^{2}\), also eine doppelte Nullstelle bei 0.
Jeder Faktor liefert genau eine Nullstelle, jeder Exponent genau eine Vielfachheit. Die drei Exponenten zusammen ergeben den Grad der Funktion.
Grad: Summe aller Vielfachheiten, wenn der Term vollständig in Linearfaktoren zerlegt ist
Produktterm: Die Klammer verrät die Nullstelle, der Exponent die Vielfachheit; \(x^{2}\) ist \((x-0)^{2}\), also doppelte Nullstelle bei 0.
Ablesen: Der Grad ergibt sich ohne Ausmultiplizieren.
Skizzieren in vier Schritten
Aus Globalverhalten und Vielfachheiten skizzierst du den Graphen ohne Wertetabelle.
- Beispiel:\(f(x)=0{,}3\,(x+2)^{2}\cdot x\cdot(x-1)^{3}\).
- 1. Globalverlauf:Grad \(2+1+3=6\) gerade und \(a>0\): beide Äste nach oben.
- 2. \(x=-2\):doppelt: Berühren.
- 3. \(x=0\):einfach: Schneiden.
- 4. \(x=1\):dreifach: Schneiden mit waagerechter Tangente.
Das Ergebnis der vier Schritte für \(f(x)=0{,}3\left(x+2\right)^{2}\cdot x\cdot\left(x-1\right)^{3}\). Die \(y\)-Achse ist bewusst nicht maßstäblich gezeichnet — bei einer Skizze kommt es nur auf Nullstellen, Vielfachheiten und Globalverlauf an.
Rückwärts kommst du vom Graphen zum Term. Den Faktor \(a\) liefert ein weiterer Punkt.
- Ablesen:\(-3\) einfach, \(0\) doppelt, \(2\) einfach, dazu der Punkt \((1\mid -1)\).
- Ansatz:\(f(x)=a\,(x+3)(x-2)\,x^{2}\).
- Punkt einsetzen:\(f(1)=a\cdot 4\cdot(-1)\cdot 1=-4a=-1\;\Rightarrow\;a=0{,}25\).
Die blaue Kurve ist vorgegeben. Stelle an den sechs Stellen per Klick die Vielfachheiten (0 bis 3) und das Vorzeichen von \(a\) ein, bis deine orange Kurve passt. Verglichen wird nur die Form, der Betrag von \(a\) spielt keine Rolle.
Bedienung mit der Tastatur im Koordinatensystem: Pfeil links und rechts wählen die Stelle, Pfeil hoch und runter ändern die Vielfachheit von 0 bis 3, Enter dreht das Vorzeichen von a um.
Halte fest: Jede Nullstelle braucht die richtige Vielfachheit. Die Summe muss zum Randverhalten der blauen Kurve passen.
Skizzieren: Aus Globalverhalten und Vielfachheiten entsteht der Graph ohne Wertetabelle.
Schritte: Zuerst den Globalverlauf aus Grad und \(a\) bestimmen, dann jede Nullstelle nach Vielfachheit zeichnen (Berühren oder Schneiden).
Rückwärts: Aus den Nullstellen den Ansatz \(f(x)=a\cdot\ldots\) bilden und \(a\) mit einem weiteren Punkt bestimmen.
Allgemeine Hinweise
Höchstens ≠ genau
Grad \(n\) erlaubt bis zu \(n\) Nullstellen. Es können auch deutlich weniger sein.
Berühren ist kein Schneiden
Bei gerader Vielfachheit kehrt der Graph an der Achse um. Dort gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
Probe mit einem Punkt
Setze nach dem Bestimmen von \(a\) den Punkt noch einmal ein. Stimmt der Funktionswert, passt dein Term.