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Wendestellen bestimmen

Dreißig interaktive Aufgaben zum vollständigen Verfahren — \(f''(x)=0\) lösen, den Kandidaten mit \(f'''\) oder dem VZW-Kriterium bestätigen und den Wendepunkt mit beiden Koordinaten angeben.

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Übungsaufgaben

Der rote Faden dieser Seite ist der Unterschied zwischen notwendig und hinreichend. Los geht es mit Aussagen, dem Verfahren als Bauplan und einer kompletten Rechenkette. In der Mitte stehen Ableitungen als Terme, vier Wendestellen zum Ausrechnen, eine Fehlersuche und der Fall, in dem das \(f'''\)-Kriterium versagt. Zum Schluss wird es anspruchsvoller: eine Wendestelle als Bruch, zwei Wendestellen gleichzeitig, der Entscheidungsbaum und eine Parameteraufgabe. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Sechs Aussagen zum EinstiegAFB I

Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

Sechs Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du mit „Neue Runde“ noch einmal.
Aussage 1 von 6

Die vierte und die sechste Aussage sind die typischen Stolperstellen: Eine Wendestelle betrifft die Krümmung, nicht die Steigung — und „keine Aussage“ ist etwas anderes als „nein“.
2Das Verfahren in der richtigen ReihenfolgeAFB I

Setzen Sie den Ablauf einer Wendestellenuntersuchung aus den Bausteinen zusammen. Drei Bausteine bleiben übrig.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Die übrig gebliebenen Bausteine gehören zur Extremstellenrechnung oder sind schlicht falsch: \(f''(x_W)\neq0\) würde eine Wendestelle gerade ausschließen, und der \(y\)-Wert kommt niemals aus einer Ableitung.
3Wendepunkt von \(f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x+2\)AFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x+2\).

Bestimmen Sie den Wendepunkt in fünf Schritten. Jeder Schritt wird erst freigeschaltet, wenn der vorige stimmt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt durch. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(f''(0)\)?
  2. Wie groß ist \(f''(5)\)?
  3. An welcher Stelle \(x_W\) gilt \(f''(x)=0\)?
  4. Welchen Wert hat \(f'''(3)\)?
  5. Wie groß ist die zweite Koordinate \(f(3)\)?
\(f'(x)=3x^{2}-18x+15\), \(f''(x)=6x-18\), \(f'''(x)=6\). Aus \(6x-18=0\) folgt \(x_W=3\); wegen \(f'''(3)=6\neq0\) ist das eine echte Wendestelle. Und \(f(3)=27-81+45+2=-7\), also \(W(3\mid-7)\). Die beiden Probewerte \(f''(0)=-18\) und \(f''(5)=12\) sind die VZW-Kontrolle: von Rechts- auf Linkskrümmung.