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Wendestellen bestimmen

Dort, wo eine Kurve von der Rechts- in die Linkskrümmung kippt, liegt eine Wendestelle. Gefunden wird sie über \(f″\) — und anschließend mit einem zweiten Kriterium bestätigt.

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Wo die Krümmung kippt

An einer Wendestelle wechselt der Graph von der Links- in die Rechtskrümmung oder umgekehrt.

  • Wendestelle:Stelle \(x_W\), an der die Krümmung wechselt.
  • Wendepunkt:\(W\bigl(x_W\,|\,f(x_W)\bigr)\).
  • Monotonie:spielt keine Rolle — der Graph kann auf beiden Seiten steigen.
  • Notwendig:wechselt \(f''\) das Vorzeichen, muss es unterwegs null werden.
Am Wendepunkt kippt die Krümmung
xf(x)−2−112−22Wendepunkthier kippt die Krümmungrechtsgekrümmtf″(x) < 0linksgekrümmtf″(x) > 0Ein Krümmungswechsel — und genau eine Stelle, an der er stattfindet
Merke

Notwendige Bedingung: \(x_W\) ist Wendestelle \(\;\Rightarrow\; f''(x_W)=0\)

Wendestelle: Stelle \(x_W\), an der die Krümmung von links nach rechts oder umgekehrt wechselt; der Wendepunkt ist \(W\bigl(x_W\,|\,f(x_W)\bigr)\).

Monotonie: Sie spielt keine Rolle.

Kandidaten prüfen

\(f''(x)=0\) liefert nur Kandidaten. Nicht jede Nullstelle von \(f''\) ist eine Wendestelle.

Drei Nullstellen von f″ — zwei Wendestellen
Dreimal gilt f″(x₀) = 0 — nur zweimal ist es eine Wendestellef″ wechselt + → −xf″+−Wendestellef″ wechselt − → +xf″−+Wendestellef″ berührt die Achse nurxf″++keine Wendestelle
  • \(+\) nach \(-\):von Links- in Rechtskrümmung: Wendestelle.
  • \(-\) nach \(+\):von Rechts- in Linkskrümmung: Wendestelle.
  • Kein Wechsel:\(f''\) berührt die Achse nur: keine Wendestelle.
  • f‴-Kriterium:\(f'''(x_W)\neq 0\) bestätigt die Wendestelle. Bei \(f'''(x_W)=0\) entscheidet das VZW-Kriterium.
Merke

Hinreichende Bedingung: \(f''(x_W)=0\) und \(f'''(x_W)\neq 0\;\Rightarrow\;\) Wendestelle

Kandidaten: \(f''(x)=0\) liefert nur Kandidaten; eine Wendestelle liegt vor, wenn \(f''\) das Vorzeichen wechselt.

Kein Wechsel: Berührt \(f''\) die Achse nur, ist es keine Wendestelle; bei \(f'''(x_W)=0\) entscheidet das VZW-Kriterium.

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Das Verfahren in vier Schritten

Du rechnest wie bei Extremstellen — nur eine Ableitung höher.

  • 1. Ableiten:\(f''\) und \(f'''\) bilden.
  • 2. Notwendig:\(f''(x)=0\) lösen.
  • 3. Hinreichend:mit dem f‴-Kriterium oder dem VZW-Kriterium prüfen.
  • 4. Punkt:\(x_W\) in \(f\) einsetzen.
Das Beispiel im Bild: f und f″ nebeneinander
f(x) = x³ − 6x² + 9x und die zugehörige zweite Ableitungxf(x)123424W(2 | 2)rechtsgekrümmtlinksgekrümmtxf″(x)1234−6,56,5f″(2) = 0f″(x) < 0f″(x) > 0

Wähle Funktion A oder das Gegenbeispiel. Oben siehst du den Graphen von \(f\), unten den von \(f''\). Verschiebe die Stelle \(x\), bis \(f''(x)=0\) gilt, und drücke dann „Vorzeichen prüfen“: Vergleiche die Vorzeichen von \(f''\) an den Testpunkten links und rechts.

Wendestellen-Detektor

oben: der Graph von fxf(x)−11234−2−112unten: die zweite Ableitung f″xf″(x)−11234−22

Bedienung mit der Tastatur: Pfeil links und rechts verschieben die Stelle, Bild auf und Bild ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende an den Rand, die Eingabetaste startet die Prüfung.

Bereit.

Halte fest: Bei A durchquert \(f''\) die Achse — Wendestelle. Beim Gegenbeispiel berührt \(f''\) die Achse nur, und \(f'''\) ist null — keine Wendestelle.

Merke

Wendestellen berechnen: Du rechnest wie bei Extremstellen, nur eine Ableitung höher.

1. Ableiten: \(f''\) und \(f'''\) bilden.

2. Notwendig: \(f''(x)=0\) lösen.

3. Hinreichend: Mit dem \(f'''\)-Kriterium oder dem VZW-Kriterium prüfen.

4. Punkt: \(x_W\) in \(f\) einsetzen.

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Allgemeine Hinweise

Stelle oder Punkt?

\(x_W\) ist nur ein x-Wert. Für den Wendepunkt setzt du \(x_W\) in \(f\) ein, nicht in \(f''\).

f‴ = 0 heißt „offen“

Dann trifft das f‴-Kriterium keine Entscheidung. Prüfe mit dem VZW-Kriterium weiter.

Sattelpunkt erkennen

Gilt an der Wendestelle auch \(f'(x_W)=0\), liegt ein Sattelpunkt vor. Die Wendetangente ist dann waagerecht.

Videos

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