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Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zum Vorzeichenwechsel-Kriterium. Testwerte werden hier nicht geschätzt, sondern ausgerechnet — und aus dem Vorzeichenmuster entsteht Schritt für Schritt der fertige Extrempunkt.
A1Die Vorzeichentabelle lesenAFB I
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x\) mit \(f'(x)=3x^{2}-3\). Die Kandidatenstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.
Die drei Zeilen sagen dasselbe in drei Sprachen — Vorzeichen, Verlauf, Punktart.
| \(x<-1\) | \(x=-1\) | \(-1| \(x=1\) | \(x>1\) | | |
|---|---|---|---|---|---|
| Vorzeichen von \(f'\) | |||||
| Verlauf von \(G_f\) | |||||
| Punktart |
Der Wechsel von \(+\) nach \(-\) bei \(x=-1\) bedeutet: erst bergauf, dann bergab — Hochpunkt. Bei \(x=1\) ist es umgekehrt. Zwischen den Kandidatenstellen liegt kein besonderer Punkt, dort fällt der Graph nur.
A2Einen Testwert einsetzenAFB I
Zu \(f(x)=x^{3}-3x\) gehört \(f'(x)=3x^{2}-3\). Berechne den Testwert \(f'(-2)\).
Nur einsetzen und ausrechnen — das Vorzeichen des Ergebnisses ist das, worauf es ankommt. Enter prüft.
\(f'(-2)=3\cdot 4-3=9\). Das Ergebnis ist positiv, links von \(x=-1\) steigt der Graph also. Beim Quadrieren darf das Minus nicht verloren gehen: \((-2)^{2}=4\), nicht \(-4\).
A3Eine vollständige VZW-UntersuchungAFB II
Untersuche \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\) auf Extrempunkte. Arbeite die Kette von oben nach unten ab.
Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste frei. Bei den Wortfeldern genügt das Wort, z. B.
Hochpunkt. Enter prüft.- \(f'(x)=3x^{2}-12x+9\). Kleinere Kandidatenstelle:
- Größere Kandidatenstelle:
- Testwert links: \(f'(0)=\)
- Testwert dazwischen: \(f'(2)=\)
- Testwert rechts: \(f'(4)=\)
- Welche Punktart liegt bei \(x=1\) vor?
- Und bei \(x=3\)?
- Berechne den y-Wert des Tiefpunkts: \(f(3)=\)
\(f'(x)=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Die Testwerte ergeben das Muster \(+\,,\,-\,,\,+\): bei \(x=1\) also ein Hochpunkt, bei \(x=3\) ein Tiefpunkt. Die Punkte sind \(H(1\mid 4)\) und \(T(3\mid 0)\). Testwerte wählt man immer zwischen den Kandidatenstellen — \(x=2\) liegt genau dazwischen.