MINT üben

Vorzeichenwechsel-Kriterium

Die Kandidatenliste steht — jetzt fällt die Entscheidung. Ein Blick auf das Vorzeichen von f′ links und rechts der Stelle verrät, ob dort ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder nur ein Sattelpunkt liegt.

1

Das Vorzeichen von f′ entscheidet

Das VZW-Kriterium prüft jeden Kandidaten. Es vergleicht das Vorzeichen von \(f'\) kurz vor und kurz nach der Stelle.

  • Hinreichende Bedingung:entscheidet, was an einer Stelle mit \(f'(x_0)=0\) wirklich liegt.
  • VZW:kurz für Vorzeichenwechsel.
  • \(f'>0\):der Graph steigt.
  • \(f'<0\):der Graph fällt.
Drei Vorzeichenmuster — drei verschiedene Punkte
+−von + nach −Hochpunkt−+von − nach +Tiefpunkt++kein WechselSattelpunktVorzeichen von f′ links und rechts der Stelle mit f′(x) = 0
  • \(+\) nach \(-\):erst steigen, dann fallen: Hochpunkt.
  • \(-\) nach \(+\):erst fallen, dann steigen: Tiefpunkt.
  • Kein Wechsel:der Graph läuft in dieselbe Richtung weiter: Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Merke

VZW-Kriterium: \(f'(x_0)=0\) und VZW von \(+\) nach \(-\) \(\Rightarrow\) Hochpunkt; von \(-\) nach \(+\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt

VZW: Abkürzung für Vorzeichenwechsel von \(f'\) kurz vor und kurz nach der Stelle; \(f'>0\) heißt steigen, \(f'<0\) fallen.

Kein Wechsel: Der Graph läuft in dieselbe Richtung weiter; es liegt ein Sattelpunkt vor, kein Extrempunkt.

2

Mit der Vorzeichentabelle entscheiden

Die Vorzeichen bestimmst du mit Teststellen, die du in \(f'\) einsetzt.

  • 1. Kandidaten:\(f'(x)=0\) lösen.
  • 2. Bereiche:die x-Achse an allen Kandidaten zerlegen.
  • 3. Teststellen:aus jedem Bereich eine Zahl in \(f'\) einsetzen und nur das Vorzeichen notieren.
  • 4. Entscheiden:an jedem Kandidaten die beiden Nachbarvorzeichen vergleichen.
  • 5. Koordinaten:die y-Werte mit \(f\) berechnen.
Vorzeichentabelle von f′(x) = 3x² + 6x
xf′(x)−3−2−11−3369f′(x) = 3x² + 6xx < −2f′(−3) = 9+f steigt−2 < x < 0f′(−1) = −3−f fälltx > 0f′(1) = 9+f steigt+ → − ⇒ Hochpunkt− → + ⇒ Tiefpunkt
Das Ergebnis am Graphen von f
xf(x)−3−2−11−4−22HP(−2|0)+ → −TP(0|−4)− → +f steigtf fälltf steigtf(x) = x³ + 3x² − 4
Merke

Extrempunkt: \(P\bigl(x_0\,|\,f(x_0)\bigr)\) — der y-Wert kommt immer aus \(f\)

Vorzeichentabelle: Kandidaten aus \(f'(x)=0\), die \(x\)-Achse dort zerlegen, aus jedem Bereich eine Teststelle in \(f'\) einsetzen und nur das Vorzeichen notieren.

Entscheiden: An jedem Kandidaten die beiden Nachbarvorzeichen vergleichen.

Drei Kurven, jede mit waagerechter Tangente. Wähle eine Kurve und eine Kandidatenstelle, lies an den Teststellen links und rechts davon das Vorzeichen von \(f'\) ab und entscheide dich für Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt. Mit „Auswerten“ wird der Graph abschnittsweise grün und rot eingefärbt, und du siehst, ob deine Einschätzung stimmt.

Vorzeichen-Detektiv

1. Kurve wählen
2. Kandidat wählen
3. f′ links davon
4. f′ rechts davon
5. Dort liegt ein

Bedienung auch über die Tastatur: Pfeil hoch und runter wechseln die Kurve, Pfeil links und rechts die Kandidatenstelle, die Eingabetaste wertet aus.

—

Halte fest: Kurve A zeigt einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Bei B und C wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht — dort liegt jeweils ein Sattelpunkt.

3

Allgemeine Hinweise

Keine Nullstelle überspringen

Zwischen Teststelle und Kandidat darf keine weitere Nullstelle von \(f'\) liegen. Sonst prüfst du den falschen Bereich.

Bequeme Teststellen

Nimm einfache Zahlen wie \(-1\), \(0\) oder \(1\). Es zählt nur das Vorzeichen, nicht der Wert.

y-Wert aus f

Die y-Koordinate liefert \(f\), nicht \(f'\). In \(f'\) eingesetzt kommt an der Stelle immer null heraus.

Videos

Erst mit dem Klick auf Abspielen wird das Video von YouTube geladen — vorher geht keine Anfrage dorthin.