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Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zur schnellsten Rettung — von der Zeitrechnung für eine einzelne Strategie über das Minimum mit dem GTR bis zu eigenen Varianten mit anderer Wassertiefe. Ein Taschenrechner gehört hier auf den Tisch.
A1Eine Strategie durchrechnenAFB II
Der Rettungsschwimmer springt bei \(x=30\;\text{m}\) ins Wasser. Er läuft mit \(10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und schwimmt mit \(5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Rechne die Gesamtzeit Schritt für Schritt aus.
Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
- Wie lang ist der Laufweg \(s_1=100-x\)?m
- Wie lang ist der Schwimmweg \(s_2=\sqrt{x^{2}+2500}\)? (zwei Nachkommastellen)m
- Wie lange dauert das Laufen, \(t_1=\dfrac{s_1}{10}\)?s
- Wie lange dauert das Schwimmen, \(t_2=\dfrac{s_2}{5}\)? (zwei Nachkommastellen)s
- Wie groß ist die Gesamtzeit? (zwei Nachkommastellen)s
Mit 18,66 s liegt diese Strategie schon sehr nahe am Optimum — die beste Stelle ist \(x\approx 28{,}87\;\text{m}\) mit 18,660 s. Rund um das Minimum ist die Kurve eben sehr flach.
A2Der direkte WegAFB II
Wie lange bräuchte er, wenn er sofort losschwimmt und die volle Diagonale zurücklegt? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Das entspricht \(x=100\): kein Laufweg, dafür der längste Schwimmweg.
\(s_2=\sqrt{100^{2}+50^{2}}=\sqrt{12500}\approx 111{,}80\;\text{m}\), also \(t=\dfrac{111{,}80}{5}\approx 22{,}36\;\text{s}\). Der kürzeste Weg ist hier eindeutig nicht der schnellste.
A3Das Schema am StrandAFB I
Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge — mit den konkreten Inhalten dieser Aufgabe.
Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1Die Gesamtzeit \(t_{\text{ges}}\) soll minimal werden.
2Formel notieren: \(t_{\text{ges}}=\dfrac{s_1}{v_1}+\dfrac{s_2}{v_2}\).
3Nebeninformationen: \(s_1=100-x\) und \(s_2=\sqrt{x^{2}+2500}\).
4Einsetzen: \(t(x)=\dfrac{100-x}{10}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+2500}}{5}\).
5Definitionsbereich notieren: \(0\le x\le 100\).
6Minimum mit dem GTR bestimmen (G-Solv → MIN) und mit der Wertetabelle bestätigen.
7Antwortsatz: rund 29 m vor der Person ins Wasser, Zeit etwa 18,7 s.
Der Schwimmweg ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(x\) und 50 m — deshalb steht in Schritt 3 der Satz des Pythagoras.