Der Rettungsschwimmer

Ein Rettungsschwimmer läuft an Land mit \(10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und schwimmt mit \(5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Die Person ist \(100\,\text{m}\) den Strand entlang und \(50\,\text{m}\) im Wasser entfernt.

• Zielgröße:die Gesamtzeit – sie soll minimal werden.
• Variable \(x\):Abstand der Einstiegsstelle zum Punkt, der der Person gegenüberliegt.
• Laufweg:\(s_1=100-x\).
• Schwimmweg:\(s_2=\sqrt{x^{2}+50^{2}}\) nach Pythagoras.
• Bereich:\(0\le x\le 100\).
• Grenzfälle:sofort schwimmen dauert ca. \(22{,}4\,\text{s}\), ganz laufen \(20\,\text{s}\) – dazwischen geht es schneller.

Diesmal ist ein Minimum gesucht – am Schema ändert das nichts.

• Schritt 1:die Gesamtzeit soll minimal werden.
• Schritt 2:\(t=\dfrac{s_1}{v_1}+\dfrac{s_2}{v_2}\).
• Schritt 3:\(v_1=10\), \(v_2=5\), \(s_1=100-x\), \(s_2=\sqrt{x^{2}+2500}\).
• Schritt 4/5:\(t(x)=\dfrac{100-x}{10}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+2500}}{5}\) mit \(0\le x\le100\).

• Schritt 6:Die Wurzel kannst du noch nicht ableiten – das Minimum liefert der GTR: \(Y_1=t(x)\), Fenster \(0\le x\le100\), SHIFT F5 (G-Solv) → F3 (MIN) zeigt \(x\approx28{,}87\) und \(y\approx18{,}66\).
• Nachweis:Wertetabelle: \(t(20)\approx18{,}77\), \(t(28{,}87)\approx18{,}66\), \(t(40)\approx18{,}81\) – links und rechts größer ⇒ Tiefpunkt.
• Randwerte:\(t(0)=20\,\text{s}\) und \(t(100)\approx22{,}36\,\text{s}\) sind größer – das Minimum liegt im Inneren.
• Schritt 7:Er läuft rund \(71\,\text{m}\) am Strand und springt dann ins Wasser – nach ca. \(18{,}7\,\text{s}\) ist er bei der Person.

Verschiebe die Einstiegsstelle, an der der Rettungsschwimmer ins Wasser springt. Links siehst du den Strand von oben mit Laufweg, Schwimmweg und den beiden Zeiten als Balken, rechts den Graphen der Gesamtzeit; in der Nähe des Minimums rastet der Regler ein. Mit ▶ spielst du die Rettung ab.

Halte fest: Laufzeit und Schwimmzeit arbeiten gegeneinander – am Tiefpunkt ist der Graph fast waagerecht.