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Rettung am Badestrand
AFBEin Rettungsschwimmer steht am Ufer eines Nordseestrands, als er eine Person in Not entdeckt. Sie treibt 40 m vom Ufer entfernt; der Punkt am Ufer, der ihr gegenüberliegt, ist 60 m von ihm entfernt (M1). Am Ufer läuft er mit \(6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\), im Wasser schwimmt er mit \(1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
Er läuft zunächst am Ufer entlang und schwimmt dann geradlinig zur Person. \(x\) ist der Abstand der Einstiegsstelle vom Punkt gegenüber der Person in Metern. M2 zeigt die Gesamtzeit \(t(x)=\dfrac{60-x}{6}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+1600}}{1{,}5}\) in Sekunden.
M1Der Weg des Rettungsschwimmers (Skizze)
M2Gesamtzeit in Abhängigkeit von der Einstiegsstelle
- Nennen Sie die Zielgröße dieser Optimierungsaufgabe und den Bereich, in dem \(x\) sinnvoll ist.Tipp a)Was soll möglichst klein werden? Überlegen Sie, wo die Einstiegsstelle liegt, wenn er bis ganz gegenüber läuft, und wo, wenn er sofort ins Wasser springt.
- Geben Sie Laufweg und Schwimmweg an, wenn er bei \(x=30\) ins Wasser geht.Tipp b)Der Laufweg ist der Rest der 60 m. Der Schwimmweg ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(x\) und 40 m.
- Berechnen Sie die Gesamtzeit für \(x=30\).Tipp c)Zeit ist Weg durch Geschwindigkeit. Rechnen Sie Laufzeit und Schwimmzeit getrennt aus und addieren Sie.
- Lesen Sie aus M2 ab, bei welcher Einstiegsstelle die Gesamtzeit am kleinsten ist und wie groß sie dann ist.Tipp d)Suchen Sie den tiefsten Punkt des Graphen. Achten Sie darauf, dass die senkrechte Achse erst bei 34 s beginnt.
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