Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zur notwendigen Bedingung. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: ableiten, gleich null setzen, die Gleichung sauber lösen — und am Ende wissen, was die gefundenen Stellen wirklich bedeuten.
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-4\). Gesucht sind alle Stellen, an denen der Graph eine waagerechte Tangente besitzt — also alle Lösungen von \(f'(x)=0\).
- Wie lautet der Koeffizient vor \(x^{2}\) in \(f'(x)\)?
- \(f'(x)=3x^{2}+6x\). Ausklammern ergibt \(3x\cdot(x+a)\). Wie groß ist \(a\)?
- Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Wie lautet die kleinere Lösung?
- Und die größere Lösung?
- Berechne den Funktionswert an der kleineren Stelle: \(f(-2)=\)
Bilde die erste Ableitung von \(f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-4\) und gib sie im Feld an. Schreibweise: 6x^2-18x+12.
^. Enter prüft.Setze die Fachbegriffe so ein, dass der Text die Bedingung korrekt beschreibt.
Ist \(x_0\) eine Extremstelle einer differenzierbaren Funktion, so ist die Tangente dort , es gilt also \(f'(x_0)=0\). Jede Extremstelle ist damit eine der Ableitung. Diese Bedingung heißt , weil ohne sie kein Extrempunkt möglich ist. Sie ist aber nicht : Auch ein erfüllt die Gleichung, ist aber kein Extrempunkt. Das Lösen von \(f'(x)=0\) liefert deshalb nur eine .