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Notwendige Bedingung

An einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Steigung null. Diese Bedingung zeigt, wo Extrempunkte liegen können — ob dort wirklich einer liegt, sagt sie noch nicht.

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Wo ein Extrempunkt liegen kann

An einem Hoch- oder Tiefpunkt liegt die Tangente waagerecht. Ihre Steigung ist dort null.

  • Hochpunkt:der Graph steigt davor und fällt danach.
  • Tiefpunkt:der Graph fällt davor und steigt danach.
  • Extremstelle:die x-Koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts, z. B. \(x_0\).
  • Waagerechte Tangente:ihre Steigung ist \(f'(x_0)=0\).
An Hoch- und Tiefpunkten liegt die Tangente waagerecht
xf(x)−2−112−22Hochpunktf′(−1) = 0Tiefpunktf′(1) = 0Graph von f
Merke

Notwendige Bedingung: \(x_0\) ist Extremstelle \(\;\Rightarrow\; f'(x_0)=0\)

Extrempunkte: Am Hochpunkt steigt der Graph davor und fällt danach, am Tiefpunkt umgekehrt.

Extremstelle: die \(x\)-Koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts; dort liegt die Tangente waagerecht.

Notwendig, aber nicht hinreichend

Die Umkehrung gilt nicht: Aus \(f'(x_0)=0\) folgt noch kein Extrempunkt.

Dieselbe Gleichung, drei verschiedene Punkte
Überall gilt f′(x₀) = 0 — und trotzdem sieht der Graph jedes Mal anders ausHochpunktwaagerechte TangenteTiefpunktwaagerechte TangenteSattelpunktwaagerechte Tangente
  • Hoch- oder Tiefpunkt:waagerechte Tangente und Wechsel von Steigen zu Fallen (oder umgekehrt).
  • Sattelpunkt:waagerechte Tangente, aber der Graph läuft in dieselbe Richtung weiter — kein Extrempunkt.
  • Notwendig:jede Extremstelle erfüllt \(f'(x_0)=0\). Ohne diese Gleichung geht es nicht.
  • Nicht hinreichend:die Gleichung allein beweist keinen Extrempunkt.
  • Kandidaten:\(f'(x)=0\) sagt, wo ein Extrempunkt liegen kann — nicht, ob dort einer liegt.
Merke

Mögliche Extremstellen: alle Lösungen der Gleichung \(f'(x)=0\)

Notwendig: Jede Extremstelle erfüllt \(f'(x_0)=0\), aber die Gleichung allein beweist keinen Extrempunkt (nicht hinreichend).

Sattelpunkt: waagerechte Tangente, aber der Graph läuft in dieselbe Richtung weiter; er ist kein Extrempunkt.

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Die Bedingung anwenden

Rechnerisch suchst du die Nullstellen der Ableitung.

  • 1. Ableiten:\(f'\) bilden.
  • 2. Null setzen:\(f'(x)=0\) aufschreiben.
  • 3. Lösen:z. B. ausklammern und den Satz vom Nullprodukt nutzen.
  • Stelle oder Punkt:zuerst nur x-Werte notieren. Punkte gibst du erst an, wenn die Art feststeht.
Die Ableitung und ihre beiden Nullstellen
xf′(x)−4−3−2−112−22468x₁ = −2x₂ = 0f′(x) = 3x² + 6xmögliche Extremstellen

Ziehe den Regler oder nutze die Pfeiltasten. Die Tangente ist grün, solange ihre Steigung positiv ist, und rot, solange sie negativ ist. Beobachte, wo sie waagerecht einrastet und dunkel wird.

Wandernde Tangente

xf(x)−11234−3−2−1123f(x) = ⅛x⁴ − ½x³

Bedienung mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen den Punkt, Bild auf und Bild ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende springen an den Rand.

Ziehe den Regler oder benutze die Pfeiltasten.

Halte fest: Bei \(x=0\) und bei \(x=3\) ist \(f'(x)=0\). Nur bei \(x=3\) wechselt die Tangente von Rot auf Grün — dort liegt ein Tiefpunkt, bei \(x=0\) nicht.

Merke

Notwendige Bedingung anwenden: Du suchst die Nullstellen der Ableitung.

Schritte: \(f'\) bilden, \(f'(x)=0\) aufschreiben und lösen, z. B. durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt.

Stelle oder Punkt: Zuerst nur \(x\)-Werte notieren; Punkte erst angeben, wenn die Art feststeht.

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Allgemeine Hinweise

Nicht umkehren

Aus \(f'(x_0)=0\) folgt kein Extrempunkt. Auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente.

Ausklammern

Fehlt das absolute Glied, klammerst du \(x\) aus. Das geht schneller als jede Formel.

Kandidaten kennzeichnen

Schreib „mögliche Extremstellen“ dazu. Punkte mit zwei Koordinaten folgen erst nach der Prüfung.

Videos

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