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Steigen und Fallen

Wo ein Graph bergauf und wo er bergab läuft, lässt sich mit bloßem Auge sehen. Hier lernst du, diese Beobachtung als Monotonie auf einem Intervall präzise aufzuschreiben und zu begründen.

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Was Steigen und Fallen heißt

Monotonie beschreibt, ob ein Graph von links nach rechts steigt oder fällt. Hier liest du sie nur am Graphen ab.

  • Vergleich:nimm zwei Stellen \(x_1<x_2\) aus einem Intervall \(I\).
  • Streng monoton wachsend:stets \(f(x_1)<f(x_2)\) — der rechte Punkt liegt höher.
  • Streng monoton fallend:stets \(f(x_1)>f(x_2)\) — der rechte Punkt liegt tiefer.
  • Für alle Paare:ein einziges Gegenpaar genügt, und die Aussage ist falsch.
Die Definition an zwei Graphen
xy123451234x₁x₂f(x₁)f(x₂)streng monoton wachsendaus x₁ < x₂ folgt f(x₁) < f(x₂)xy123451234x₁x₂f(x₁)f(x₂)streng monoton fallendaus x₁ < x₂ folgt f(x₁) > f(x₂)
  • Ohne „streng“:\(f(x_1)\le f(x_2)\) bzw. \(f(x_1)\ge f(x_2)\) — waagerechte Stücke sind erlaubt.
  • Beispiel:ist der Graph zwischen \(-1\) und \(1{,}5\) waagerecht, ist \(f\) dort nur monoton wachsend; streng wachsend ist \(f\) auf \(]-4;\,-1[\) und \(]1{,}5;\,4[\).
Monoton wachsend, aber nicht streng
xy−3−2−11234−2−112waagerecht: f(x₁) = f(x₂)steigtsteigt
Merke

Streng monoton wachsend auf \(I\): \(x_1<x_2\;\Rightarrow\;f(x_1)<f(x_2)\) für alle \(x_1,x_2\in I\)

Streng monoton fallend: \(x_1<x_2\;\Rightarrow\;f(x_1)>f(x_2)\).

Ohne „streng“: \(\le\) bzw. \(\ge\); waagerechte Stücke sind erlaubt.

Für alle Paare: Ein einziges Gegenpaar macht die Aussage falsch.

Zwei Punkte wandern gemeinsam über den Graphen, \(x_2\) immer rechts von \(x_1\). Die Spur zeigt dir, welcher der beiden höher liegt: Sie färbt sich grün, solange \(f(x_1) < f(x_2)\) ist, rot, solange \(f(x_1) > f(x_2)\) ist, und grau, solange beide Werte gleich sind. Unter dem Graphen sammeln sich die Bereiche, die du bereits abgelaufen bist.

Monotonie-Detektiv

xy−3−2−1123−2−112grün: f(x₁) < f(x₂) · rot: f(x₁) > f(x₂) · grau: f(x₁) = f(x₂)Der zweite Punkt liegt stets 0,6 Einheiten rechts vom ersten.x₁x₂

—

Gefundene Monotonieintervalle—
  • Noch nichts gefunden.

Bedienung mit der Maus über den Regler, durch Klick in das Diagramm oder mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen den Punkt, Bild auf und Bild ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende springen an den Rand.

x₁: —. x₂: —. f(x₁) … f(x₂): —. Ergebnis: —. Ziehe den Regler oder benutze die Pfeiltasten.

Halte fest: Die Farbe wechselt genau dort, wo der Graph umkehrt — das sind die Grenzen der Monotonieintervalle.

Intervalle ablesen

Monotonie gilt immer auf einem Intervall, nie an einer einzelnen Stelle.

  • Schritt 1:Stellen suchen, an denen der Graph umkehrt.
  • Schritt 2:die \(x\)-Achse lückenlos in offene Intervalle zerlegen.
  • Schritt 3:jeden Bereich benennen und mit „weil“ begründen.
  • Wechselstelle:gehört zu keinem Intervall — dort steht die offene Klammer, ebenso an \(\pm\infty\).
Der Graph zum ersten Beispiel
xy−112345−112]−∞; 0[]0; 3,5[]3,5; ∞[
  • Beispiel:Umkehr bei \(0\) und \(3{,}5\): wachsend auf \(]-\infty;\,0[\), fallend auf \(]0;\,3{,}5[\), wachsend auf \(]3{,}5;\,\infty[\).
Der Graph zum zweiten Beispiel
xy−2−11234−1123]−∞; 1[]1; ∞[
  • Beispiel:Tiefpunkt bei \(x=1\): fallend auf \(]-\infty;\,1[\), wachsend auf \(]1;\,\infty[\).
Der Graph zum dritten Beispiel
xy−3−2−112−2−112??
  • Beispiel:Umkehr bei \(-2\) und \(1\): wachsend auf \(]-\infty;\,-2[\), fallend auf \(]-2;\,1[\), wachsend auf \(]1;\,\infty[\).
  • Antwortsatz:„\(f\) ist auf \(]0;\,3{,}5[\) streng monoton fallend, weil dort aus \(x_1<x_2\) stets \(f(x_1)>f(x_2)\) folgt.“
Merke

Monotonieintervall: \(]a;\,b[\) — die Wechselstellen \(a\) und \(b\) gehören nicht dazu

Vorgehen: Umkehrstellen suchen, die \(x\)-Achse lückenlos in offene Intervalle zerlegen und jeden Bereich mit „weil“ begründen.

Grenzen: Monotonie gilt immer auf einem Intervall, nie an einer einzelnen Stelle; an \(\pm\infty\) steht ebenfalls die offene Klammer.

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Wo die Monotonie wechselt

An einer Wechselstelle hört der Graph auf zu steigen und beginnt zu fallen — oder umgekehrt.

  • Extremstelle:Stelle, an der die Monotonie wechselt.
  • Lokales Maximum:Wechsel von wachsend zu fallend — ein Hochpunkt.
  • Lokales Minimum:Wechsel von fallend zu wachsend — ein Tiefpunkt.
Stelle und Punkt am selben Graphen
xy−3−2−1123−2−1123H(−1 | 1,7)T(2 | −1)xₐ = −1xᵤ = 21,7−1
  • Stelle:eine Zahl auf der \(x\)-Achse, z. B. \(x_H=-1\).
  • Wert:die \(y\)-Koordinate, z. B. \(f(x_H)=1{,}7\).
  • Punkt:beide Koordinaten: \(H(-1\mid1{,}7)\).
  • Lokal:höchster bzw. tiefster Punkt in der Umgebung.
  • Global:höchster bzw. tiefster Wert im ganzen betrachteten Bereich.
  • Randmaximum:liegt am Rand, ohne Monotoniewechsel — keine Extremstelle.
Lokal, global und der Rand
xy123456123456lokales Maximumlokales Minimumglobales Maximumglobales Minimum
Merke

Hochpunkt: \(H\big(x_H\mid f(x_H)\big)\) mit der Stelle \(x_H\) und dem Wert \(f(x_H)\)

Extremstelle: Hier wechselt die Monotonie; von wachsend zu fallend ist es ein lokales Maximum (Hochpunkt), von fallend zu wachsend ein lokales Minimum (Tiefpunkt).

Lokal und global: Lokal heißt höchster bzw. tiefster Punkt in der Umgebung, global im ganzen betrachteten Bereich.

Rand: Ein Randmaximum ohne Monotoniewechsel ist keine Extremstelle.

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Allgemeine Hinweise

„Streng“ ist Inhalt

„Streng“ verbietet waagerechte Stücke. Schreib das Wort deshalb in jede Antwort.

Stelle oder Punkt?

Bei „Extremstellen“ gibst du nur \(x\) an. Bei „Extrempunkten“ brauchst du beide Koordinaten.

Ränder prüfen

Der größte Wert kann am Rand liegen. Prüfe bei der Frage nach dem größten Wert immer auch die Ränder.

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