MINT üben

Links- und Rechtskrümmung

Dreißig interaktive Aufgaben rund um \(f''\) — zweimal ableiten, Vorzeichen bestimmen, Intervalle aufschreiben und dabei Wanne und Berg nie mehr verwechseln.

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Übungsaufgaben

Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet, aber bewusst gemischt: Auf jede Verständnisfrage folgt eine Rechnung. Die ersten fünf sichern die Begriffe und das zweimalige Ableiten. In der Mitte wird gerechnet — Werte von \(f''\), Vorzeichentabellen, eine Fehlersuche und der komplette Ablauf einer Krümmungsuntersuchung. Am Ende stehen ein Intervall auf der Zahlengeraden, eine Funktion mit zwei Krümmungswechseln und eine Parameteraufgabe, bei der die Rechnung rückwärts läuft. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Die Sprache der KrümmungAFB I

Vervollständigen Sie den Merktext mit den Wörtern aus der Wortbank. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Ein Graph heißt auf einem Abschnitt , wenn er nach oben geöffnet ist wie eine ; im anderen Fall ist er rechtsgekrümmt und sieht aus wie ein . Entschieden wird das allein vom Vorzeichen der Ableitung: Aus \(f''(x)>0\) folgt Linkskrümmung, aus \(f''(x)<0\) folgt . Ein Tiefpunkt liegt deshalb stets in einem linksgekrümmten Stück, ein stets in einem rechtsgekrümmten. Und wie die Monotonie ist auch die Krümmung immer eine Aussage über ein ganzes , nie über einen einzelnen Punkt.

Übrig bleiben „ersten“ und „Sattelpunkt“. Die erste Ableitung entscheidet über Steigen und Fallen, nicht über die Krümmung — und der Sattelpunkt gehört nicht in diesen Merktext.
2Was folgt daraus?AFB I

Ordnen Sie jede Karte dem passenden Korb zu. Achten Sie darauf, ob eine Aussage über eine einzelne Stelle oder über ein ganzes Intervall spricht — und ob überhaupt \(f''\) gemeint ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1linksgekrümmt
2rechtsgekrümmt
3so nicht entscheidbar
\(f'(3)=-4\) sagt nur, dass der Graph dort fällt — über die Krümmung ist damit nichts gesagt. \(f''(3)=0\) ist der Grenzfall: Er ist notwendig für einen Krümmungswechsel, entscheidet aber nichts. Und \(f''(x)=x\) wechselt auf \(\left]-2;2\right[\) mitten im Intervall das Vorzeichen — dort ist die Krümmung nicht einheitlich.
3Zweimal ableitenAFB II

Vier Funktionen sind gegeben.

Bestimmen Sie jeweils \(f'(x)\) und \(f''(x)\). Schreibweise: Potenzen mit ^, also 3x^2-6x. Der Term muss vollständig zusammengefasst sein.

In jedes Feld gehört ein Term in \(x\). Enter prüft alle Felder auf einmal.
\(f(x)\)\(f'(x)\)\(f''(x)\)
\(x^{3}-3x^{2}\)
\(x^{4}+2x^{2}\)
\(-x^{3}+6x\)
\(0{,}5x^{4}-x^{3}\)
Die zweite Ableitung entsteht, indem man die Potenzregel ein zweites Mal anwendet — auf \(f'\), nicht noch einmal auf \(f\). Aus \(4x^{3}+4x\) wird deshalb \(12x^{2}+4\): Der lineare Summand \(4x\) liefert die Konstante \(4\), nicht \(0\).