MINT üben

Links- und Rechtskrümmung

Ein Graph steigt oder fällt nicht nur — er ist dabei auch gebogen. Hier lernst du, wie sich Linkskrümmung und Rechtskrümmung unterscheiden und woran man sie mit \(f''\) erkennt.

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Wanne oder Berg

Die Krümmung sagt, wohin du lenken musst, wenn du den Graphen von links nach rechts abfährst.

  • Linksgekrümmt:nach oben geöffnet wie eine Wanne — du lenkst nach links.
  • Rechtsgekrümmt:nach unten geöffnet wie ein Berg — du lenkst nach rechts.
  • Intervall:die Krümmung gilt für einen Abschnitt, nicht für einen einzelnen Punkt.
  • Unabhängig:steigend oder fallend sagt nichts über die Krümmung. Alle vier Kombinationen kommen vor.
Wanne und Berg — die beiden Krümmungsarten
Zwei Grundformen — und wie sich das Lenkrad dabei drehtTiefpunktLinkskrümmungKurve wie eine Wannef″(x) > 0HochpunktRechtskrümmungKurve wie ein Bergf″(x) < 0
  • Tiefpunkt:liegt immer in einem linksgekrümmten Stück.
  • Hochpunkt:liegt immer in einem rechtsgekrümmten Stück.
Merke

Krümmung: Wanne = linksgekrümmt, Berg = rechtsgekrümmt

Intervall: Die Krümmung gilt für einen Abschnitt, nicht für einen einzelnen Punkt.

Unabhängig: Steigend oder fallend sagt nichts über die Krümmung.

Extrempunkte: Ein Tiefpunkt liegt in einem linksgekrümmten, ein Hochpunkt in einem rechtsgekrümmten Stück.

Das Kriterium mit f″

Mit der zweiten Ableitung bestimmst du die Krümmung ohne Zeichnung.

  • Wanne:die Tangentensteigungen wachsen von links nach rechts.
  • Also:\(f'\) ist streng monoton wachsend.
  • Monotonie:\(f'\) wächst dort, wo seine Ableitung \(f''\) positiv ist.
In der Wanne wachsen die Tangentensteigungen
xf(x)−2−1121234Die Tangente dreht sich beim Abfahren stets nach links.Steigung f′(x)bei x = −2−2,4bei x = −1−1,2bei x = 00bei x = 11,2bei x = 22,4immer größer → f″(x) > 0
Merke

Krümmungskriterium: \(f''(x)>0\;\Rightarrow\;\) linksgekrümmt; \(f''(x)<0\;\Rightarrow\;\) rechtsgekrümmt

Begründung: Bei einer Wanne wachsen die Tangentensteigungen, also ist \(f'\) streng monoton wachsend, und das gilt dort, wo \(f''\) positiv ist.

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Krümmung berechnen

Du bestimmst das Vorzeichen von \(f''\) und notierst das Ergebnis als Intervall.

  • 1. Ableiten:\(f''\) bilden.
  • 2. Nullstellen:\(f''(x)=0\) lösen — nur dort kann das Vorzeichen wechseln.
  • 3. Probestellen:in jedem Bereich eine Zahl in \(f''\) einsetzen.
  • 4. Intervalle:Ergebnis für jeden Bereich aufschreiben.
Das Ergebnis am Graphen von f
xf(x)−2−112−22H(−1 | 2)T(1 | −2)f″(x) < 0 — rechtsgekrümmtf″(x) > 0 — linksgekrümmtf(x) = x³ − 3x
Das Vorzeichen von f″ als eigenes Schaubild
xf″(x)−2−112−6−226f″(x) < 0f″(x) > 0f″(x) = 6x

Ein Auto fährt den Graphen ab. Lenkrad und Balken zeigen, wie \(f''(x)\) die Lenkrichtung bestimmt. Die Spur hinter dem Auto färbt sich grün, solange \(f''(x) > 0\) ist, und rot, solange \(f''(x) < 0\) ist; mit ▶ fährt das Auto von selbst.

Krümmungs-Fahrt

xf(x)−2−112−2−112f(x) = ¼x⁴ − 1,5x²Lenkradlinks = Wanne · rechts = BergWert von f″(x)negativ ← ⋅ → positivgrüne Spur: f″(x) > 0 · rote Spur: f″(x) < 0

Bedienung mit der Maus über den Regler, durch Klick in das Diagramm oder mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen das Auto, Bild auf und Bild ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende springen an den Rand, die Eingabetaste startet und stoppt die Fahrt.

Stelle x: —. f″(x): —. Krümmung dort: —. Starte die Fahrt oder ziehe den Regler. Achte darauf, wann das Lenkrad die Seite wechselt.

Halte fest: Lenkrad und Spurfarbe wechseln genau dort, wo \(f''(x)\) das Vorzeichen wechselt. Der Hochpunkt liegt im rechtsgekrümmten, der Tiefpunkt im linksgekrümmten Abschnitt.

Merke

Krümmung berechnen: Du bestimmst das Vorzeichen von \(f''\) und schreibst das Ergebnis als Intervall.

1. Ableiten: \(f''\) bilden.

2. Nullstellen: \(f''(x)=0\) lösen; nur dort kann das Vorzeichen wechseln.

3. Probestellen: In jedem Bereich eine Zahl in \(f''\) einsetzen und das Ergebnis als Intervall notieren.

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Allgemeine Hinweise

f″, nicht f

Für die Krümmung zählt nur das Vorzeichen von \(f''\). Ein Graph kann unter der x-Achse liegen und trotzdem linksgekrümmt sein.

Als Intervall antworten

Schreib „auf \(\left]0;\,\infty\right[\) linksgekrümmt“. Eine einzelne Stelle reicht als Antwort nicht.

Nicht mit Steigen verwechseln

Steigend heißt nicht linksgekrümmt. Monotonie und Krümmung prüfst du getrennt.

Videos

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