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Badestelle: wie fällt der Seegrund ab?
AFBAn einem Badesee wird eine neue Badestelle angelegt. Der Seegrund soll am Ufer flach beginnen und 20 m vom Ufer entfernt waagerecht in den ebenen Seeboden in 3 m Wassertiefe übergehen. Der geplante Querschnitt (M1) wird durch \(h(x)=0{,}075x^{3}-2{,}25x^{2}+300\) beschrieben; \(x\) ist die Entfernung vom Ufer in Metern (\(0\le x\le 20\)), \(h(x)\) die Höhe des Grundes über dem Seeboden in Zentimetern.
Beschreibungen für das Infoschild:
- 1Der Grund fällt immer steiler ab.
- 2Der Grund fällt immer flacher ab.
- 3Der Grund steigt wieder an (Sandbank).
M1Querschnitt der Badestelle
- Lesen Sie aus M1 näherungsweise ab, auf welchem Abschnitt der Seegrund wie ein Berg und auf welchem er wie eine Wanne gekrümmt ist.Tipp a)Durchlaufen Sie den Graphen von links nach rechts wie eine Straße: Wo müssten Sie nach rechts lenken, wo nach links?
- Geben Sie die erste und die zweite Ableitung von \(h\) an.Tipp b)Potenzregel und Faktorregel; die Konstante 300 fällt weg.
- Berechnen Sie \(h''(4)\) und \(h''(16)\) und geben Sie jeweils die Krümmung an dieser Stelle an.Tipp c)Setzen Sie in \(h''\) ein. Positiv bedeutet linksgekrümmt (Wanne), negativ rechtsgekrümmt (Berg).
- Ordnen Sie den Abschnitten \(]0;\,10[\) und \(]10;\,20[\) je eine der Beschreibungen 1 bis 3 zu.Tipp d)Das Gefälle ist die negative Steigung. Vergleichen Sie zum Beispiel \(h'(2)\), \(h'(8)\), \(h'(12)\) und \(h'(18)\).
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