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Graphen lesen und skizzieren

Aus einem Graphen alle wichtigen Eigenschaften ablesen, sie in korrekter Intervallschreibweise notieren und umgekehrt aus Vorgaben eine passende Skizze anfertigen.

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Was ein Graph verrät

Aus einem Graphen liest du viele Eigenschaften ab — ganz ohne Funktionsgleichung.

  • y-Achsenabschnitt:\(f(0)\) — meist exakt ablesbar, weil die \(y\)-Achse eine Gitterlinie ist.
  • Nullstellen:Schnitt- oder Berührpunkte mit der \(x\)-Achse, also \(f(x_0)=0\).
  • Vorzeichenbereiche:oberhalb der \(x\)-Achse \(f(x)>0\), unterhalb \(f(x)<0\).
  • Hoch- und Tiefpunkte:dort kehrt der Graph um — die Koordinaten sind meist geschätzt.
  • Randverhalten:die äußeren Äste zeigen, wohin \(f(x)\) für \(x\to\pm\infty\) läuft.
Fünf Informationen in einem Graphen
xy−5−4−3−2−112345−3−2−11234f(x) > 0f(x) < 0f(0) = −1,5Nullstellen bei −3, −1 und 2Hochpunkt ≈ (−2,1 | 1,0)Tiefpunkt ≈ (0,8 | −2,1)für große x nach obenfür kleine x nach unten
Der Graph für das Beispiel
xy−2−11234−3−2−11234PTH
  • Beispiel:\(f(0)=-1{,}2\); Nullstellen \(-2\), \(1\), \(3\).
  • Vorzeichen:\(f(x)>0\) auf \(]-\infty;\,-2[\) und \(]1;\,3[\), \(f(x)<0\) auf \(]-2;\,1[\) und \(]3;\,\infty[\).
  • Extrempunkte:\(T\approx(-0{,}8\mid-1{,}6)\), \(H\approx(2{,}1\mid0{,}8)\).
  • Randverhalten:für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\), für \(x\to+\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\).
Merke

Ablesen: Abgelesene Werte sind Näherungen; sie werden mit \(\approx\) notiert.

Ablesbar: \(y\)-Achsenabschnitt \(f(0)\), Nullstellen \(f(x_0)=0\), Vorzeichenbereiche (\(f>0\) oberhalb, \(f<0\) unterhalb der \(x\)-Achse), Hoch- und Tiefpunkte.

Randverhalten: Die äußeren Äste zeigen, wohin \(f(x)\) für \(x\to\pm\infty\) läuft.

Intervalle richtig aufschreiben

Ein Intervall ist ein zusammenhängendes Stück der \(x\)-Achse zwischen zwei Grenzen.

  • Offen:\(]0;\,3{,}5[\) — die Grenzen gehören nicht dazu (leerer Kreis).
  • Abgeschlossen:\([-2;\,1]\) — die Grenzen gehören dazu (gefüllter Kreis).
  • Unbeschränkt:\(]-\infty;\,0[\) oder \(]3;\,\infty[\).
  • Andere Schreibweise:\((a;\,b)\) meint dasselbe wie \(]a;\,b[\). Hier steht immer \(]a;\,b[\), damit du es nicht mit einem Punkt \((x\mid y)\) verwechselst.
Offene, abgeschlossene und unbeschränkte Intervalle
−6−5−4−3−2−10123456]0; 3,5[oder (0; 3,5)offen — die Grenzen gehören nicht dazu−6−5−4−3−2−10123456[−2; 1]oder [−2; 1]abgeschlossen — beide Grenzen gehören dazu−6−5−4−3−2−10123456]−∞; 0[]3; ∞[Bei ∞ steht immer die offene Klammer.
  • Steigend:aus \(x_1<x_2\) folgt \(f(x_1)<f(x_2)\) — immer auf einem Intervall.
  • Umkehrstellen:sind die Grenzen der Intervalle und bleiben draußen.
  • Beispiel:„\(f\) ist auf \(]-1{,}5;\,2[\) streng monoton steigend.“
Monotonie-Intervalle an einem Graphen ablesen
xy−3−2−1123−2−11234HochpunktTiefpunktTiefpunkt]−∞; −2[]−2; 0[]0; 2[]2; ∞[■ steigt■ fälltAn den Stellen −2, 0 und 2 endet ein Intervall — deshalb offene Klammern.
Merke

Offenes Intervall: \(]a;\,b[\;=\;\{x\mid a<x<b\}\)

Abgeschlossen: \([a;\,b]\) enthält die Grenzen; unbeschränkt sind z. B. \(]-\infty;\,0[\) und \(]3;\,\infty[\).

Monotonie: Steigend heißt aus \(x_1<x_2\) folgt \(f(x_1)<f(x_2)\), immer auf einem Intervall; Umkehrstellen gehören zu keinem der Intervalle.

Markiere direkt am Graphen, wo er steigt und wo er fällt. Die Anzeige oben rechts übersetzt deine Markierung laufend in Intervallschreibweise. Klicke oder ziehe dazu über die Felder des Bandes unter der \(x\)-Achse.

Intervall-Markierer

xy−3−2−1123−3−2−11234−4−3−2−101234Markierband — ein Feld entspricht 0,25 Einheiten■ steigend■ fallendSchraffur = weicht von der Lösung ab

Bedienung mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen den Marker, Pfeil oben und unten wechseln die Farbe, die Eingabetaste setzt Anfang und Ende eines Bereichs, Entfernen löscht ein Feld.

steigend auf: —. fallend auf: —. Markiere zuerst alle Bereiche, in denen der Graph steigt. Wechsle dann den Modus und markiere die fallenden Bereiche.

Halte fest: Zwischen einem steigenden und einem fallenden Bereich liegt eine Umkehrstelle, die zu keinem der beiden Intervalle gehört.

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Vom Text zur Skizze

Aus einer Liste von Eigenschaften entsteht eine Skizze: erst sichere Punkte, dann Umkehrstellen, dann glatt verbinden.

  • Vorgabe:\(f(0)=-3\); Nullstellen bei \(-4\) und \(2\); \(f\) steigt auf \(]-1;\,\infty[\); genau ein Tiefpunkt.
  • Punkte:\((-4\mid0)\), \((2\mid0)\) und \((0\mid-3)\) eintragen.
  • Tiefpunkt:bei \(x=-1\), tiefer als \(-3\) — also fällt \(f\) auf \(]-\infty;\,-1[\).
  • Viele Lösungen:jede glatte Kurve, die alle Vorgaben erfüllt, ist richtig.
Zwei richtige Skizzen zu derselben Vorgabe
xy−5−4−3−2−1123−4−3−2−11234Skizze A — eine Parabelxy−5−4−3−2−1123−4−3−2−11234Skizze B — eine freie KurveBeide Skizzen erfüllen alle vier Vorgaben — die Skizze ist also nicht eindeutig.
  • Rechnerfenster:\(f(x)=x^3-12x\) hat Extremwerte bei \(y=\pm16\) — außerhalb des Standardfensters \(-10\) bis \(10\).
  • Fenster wählen:erst den \(x\)-Bereich mit allen Nullstellen, dann den \(y\)-Bereich vergrößern, bis alle Umkehrstellen sichtbar sind.
Dieselbe Funktion in zwei Rechnerfenstern
−8−448−8−448StandardfensterXmin −10 ⋅ Xmax 10 ⋅ Ymin −10 ⋅ Ymax 10−4−224−16−8816H(−2 | 16)T(2 | −16)angepasstes FensterXmin −5 ⋅ Xmax 5 ⋅ Ymin −20 ⋅ Ymax 20
Merke

Skizze: richtig ist jede glatte Kurve, die alle Vorgaben erfüllt

Vorgehen: Erst sichere Punkte eintragen, dann Umkehrstellen festlegen, dann glatt verbinden.

Rechnerfenster: Zuerst den \(x\)-Bereich mit allen Nullstellen wählen, dann den \(y\)-Bereich vergrößern, bis alle Umkehrstellen sichtbar sind.

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Allgemeine Hinweise

Ablesen ist Schätzen

Nur Werte auf Gitterlinien sind exakt. Alle anderen notierst du mit \(\approx\) und einer Nachkommastelle.

Nie „bei x = 2 fallend“

Steigen und Fallen vergleichen zwei Stellen. Sie gehören daher immer zu einem Intervall.

Klammer an Unendlich

\(\infty\) ist keine Zahl, die man erreicht. Dort steht deshalb immer die offene Klammer.

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