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Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zum \(f''\)-Kriterium. Zweimal ableiten, einsetzen, entscheiden — und dort, wo das Kriterium schweigt, sauber auf das VZW-Kriterium ausweichen.
A1Zweimal ableitenAFB I
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+5\). Bilde zuerst \(f'\), dann \(f^{\prime\prime}\), und gib die zweite Ableitung an.
Schreibweise:
4x-9. Enter prüft.\(f'(x)=3x^{2}-12x\) und daraus \(f^{\prime\prime}(x)=6x-12\). Der konstante Summand \(+5\) fällt schon beim ersten Ableiten weg, der lineare Anteil beim zweiten.
A2f, f′ und f″ an drei StellenAFB I
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+4\). Berechne die neun Werte.
Alle Felder ausfüllen, dann prüfen. Negative Zahlen mit Minuszeichen.
| Stelle \(x\) | \(f(x)\) | \(f'(x)\) | \(f^{\prime\prime}(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | |||
| \(1\) | |||
| \(2\) |
\(f'(x)=3x^{2}-6x\), \(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\). An den Stellen \(0\) und \(2\) ist \(f'\) null — das sind die Kandidaten. Dort ist \(f^{\prime\prime}(0)=-6<0\) (Hochpunkt) und \(f^{\prime\prime}(2)=6>0\) (Tiefpunkt). Bei \(x=1\) ist zwar \(f^{\prime\prime}=0\), aber \(f'\ne 0\) — das ist kein Kandidat, sondern die Wendestelle.
A3Der Merksatz zum f″-KriteriumAFB I
Setze die Begriffe so ein, dass das Kriterium korrekt formuliert ist.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken.
Sei \(x_E\) eine Stelle mit \(f'(x_E)=0\). Ist dort \(f^{\prime\prime}(x_E)>0\), so ist der Graph gekrümmt und es liegt ein vor. Ist \(f^{\prime\prime}(x_E)<0\), so ist der Graph gekrümmt und es liegt ein vor. Ergibt sich dagegen \(f^{\prime\prime}(x_E)=0\), so liefert das Kriterium — dann muss man auf das ausweichen.
Eselsbrücke: Ein positives \(f^{\prime\prime}\) lässt den Graphen wie ein Plus-Zeichen nach oben aufgehen — Wanne, also Tiefpunkt. Negatives \(f^{\prime\prime}\): Berg, also Hochpunkt.