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Das f″-Kriterium

Statt links und rechts von der Kandidatenstelle nachzusehen, genügt ein einziger Wert: das Vorzeichen von f″ genau an dieser Stelle entscheidet über Hoch- und Tiefpunkt.

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Wanne oder Berg

Das f″-Kriterium entscheidet mit einem einzigen Wert: dem Vorzeichen von \(f''\) an der Kandidatenstelle.

  • Zweite Ableitung:\(f''\) ist die Ableitung von \(f'\). Sie beschreibt die Krümmung.
  • Voraussetzung:an der Stelle \(x_E\) gilt bereits \(f'(x_E)=0\).
  • \(f''(x_E)>0\):linksgekrümmt wie eine Wanne: Tiefpunkt.
  • \(f''(x_E)<0\):rechtsgekrümmt wie ein Berg: Hochpunkt.
Wanne oder Berg — das Vorzeichen von f″ entscheidet
Das Vorzeichen von f″ an der Kandidatenstelle entscheidet über die Punktartf″(xₑ) > 0Tiefpunktnach oben geöffnet — wie eine Wannef″(xₑ) < 0Hochpunktnach unten geöffnet — wie ein Berg
Merke

f″-Kriterium: \(f'(x_E)=0\) und \(f''(x_E)>0\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt; \(f'(x_E)=0\) und \(f''(x_E)<0\) \(\Rightarrow\) Hochpunkt

Krümmung: \(f''>0\) bedeutet linksgekrümmt (Wanne), \(f''<0\) rechtsgekrümmt (Berg).

Voraussetzung: An der Kandidatenstelle \(x_E\) gilt bereits \(f'(x_E)=0\).

Der Grenzfall

Ist \(f''(x_E)=0\), liefert das Kriterium keine Aussage. Dann ist noch alles offen.

Der Grenzfall f″(xₑ) = 0 entscheidet nichts
Zweimal f′(0) = 0 und f″(0) = 0 — und zwei ganz verschiedene Punkteg(x) = x⁴Tiefpunktf″(0) = 0 — keine Aussageh(x) = x³Sattelpunktf″(0) = 0 — keine Aussage
  • \(g(x)=x^{4}\):\(g'(0)=g''(0)=0\), trotzdem liegt ein Tiefpunkt vor.
  • \(h(x)=x^{3}\):\(h'(0)=h''(0)=0\), hier liegt ein Sattelpunkt.
  • Ausweg:mit dem VZW-Kriterium das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts prüfen.
  • Vorteil:sonst genügt ein eingesetzter Wert statt zweier Teststellen.
Merke

Keine Aussage: \(f''(x_E)=0\) \(\Rightarrow\) VZW-Kriterium benutzen

Grenzfall: Dann kann Tiefpunkt (\(x^{4}\)) oder Sattelpunkt (\(x^{3}\)) vorliegen.

VZW-Kriterium: Das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Stelle prüfen.

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Das Verfahren durchgerechnet

Extrempunkte bestimmst du damit in drei Schritten.

  • 1. Notwendig:\(f'(x)=0\) lösen → mögliche Extremstellen.
  • 2. Hinreichend:jede Stelle in \(f''\) einsetzen → Hoch- oder Tiefpunkt.
  • 3. Koordinaten:jede bestätigte Stelle in \(f\) einsetzen.
Das Ergebnis und die zugehörige zweite Ableitung
f(x) = x³ + 3x² − 4 mit den beiden gefundenen Punktenxf(x)−3−2−11−4−22HP(−2 | 0)TP(0 | −4)Graph von fDie zweite Ableitung f″(x) = 6x + 6 an denselben Stellenxf″(x)−3−2−11−66f″(−2) = −6f″(0) = 6f″ < 0 → Hochpunktf″ > 0 → Tiefpunkt

Die drei Diagramme zeigen \(f\), \(f'\) und \(f''\) übereinander. Untersuche beide Kandidatenstellen in allen drei Bildern. Eine senkrechte Lotlinie läuft durch alle drei Diagramme; wird im mittleren Bild \(f'(x)=0\), ist eine Kandidatenstelle erreicht und unten wird die Punktart angezeigt.

Lotlinie durch f, f′ und f″

xf(x)−0,50,511,5−0,10,10,20,3f(x) = ¼x⁴ − ⅓x³xf′(x)−0,50,511,5−11f′(x) = x³ − x²xf″(x)−0,50,511,51234f″(x) = 3x² − 2x

Bedienung mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen die Lotlinie, Bild auf und Bild ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende springen an den Rand, Enter springt zur Kandidatenstelle.

Stelle x: —. f′(x): —. f″(x): —. Ergebnis des Kriteriums: —. Schiebe die Lotlinie an die beiden markierten Kandidatenstellen und vergleiche, was das untere Diagramm dort anzeigt.

Halte fest: Bei \(x=1\) ist \(f''>0\), also Tiefpunkt. Bei \(x=0\) ist \(f''(0)=0\) — das Kriterium schweigt, \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen: Sattelpunkt.

Merke

Verfahren mit \(f''\): Extrempunkte bestimmst du in drei Schritten.

1. Notwendig: \(f'(x)=0\) lösen ergibt mögliche Extremstellen.

2. Hinreichend: Jede Stelle in \(f''\) einsetzen; \(f''>0\) Tiefpunkt, \(f''<0\) Hochpunkt.

3. Koordinaten: Jede bestätigte Stelle in \(f\) einsetzen.

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Allgemeine Hinweise

Vorzeichen nicht vertauschen

Positives \(f''\) gehört zum Tiefpunkt, negatives zum Hochpunkt. Denk an Wanne und Berg.

Null heißt nicht „kein Extrempunkt“

Bei \(f''(x_E)=0\) ist noch alles offen. Prüfe dann mit dem VZW-Kriterium.

Richtig einsetzen

Die Punktart entscheidest du mit \(f''\). Den y-Wert berechnest du mit \(f\).

Videos

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