Wenn die Funktion fehlt
Bei einer Extremwertaufgabe steht am Anfang kein Funktionsterm, sondern eine Sachsituation. Die Funktion stellst du selbst auf.
- Zielgröße:soll maximal oder minimal werden, z. B. ein Volumen.
- Nebenbedingung:feste Vorgabe, an die du gebunden bist.
- Variable \(x\):die eine Größe, die du frei wählst.
- Zielfunktion:die Zielgröße als Funktion von \(x\) allein.
- Definitionsbereich:nur die Werte von \(x\), die in der Situation Sinn ergeben.
Beispiel „Box aus Papier“: Aus den Ecken eines Quadrats mit 20 cm Seitenlänge werden Quadrate der Seite \(x\) ausgeschnitten. Die Ränder werden hochgeklappt.
- Boden:Quadrat mit der Kante \(20-2x\).
- Höhe:\(x\) – genau der hochgeklappte Streifen.
- Sinnvoll:\(0<x<10\) – an beiden Rändern ist das Volumen null.
Extremwertaufgabe: größter oder kleinster Wert einer Zielgröße unter einer Nebenbedingung
Zielfunktion: Die Zielgröße wird als Funktion der frei gewählten Variable \(x\) allein aufgestellt.
Definitionsbereich: Nur Werte von \(x\), die in der Situation Sinn ergeben.
Das Schema in sieben Schritten
Der Rechenweg ist bei jeder Extremwertaufgabe derselbe. Hier mit den Ergebnissen der Box.
- Schritt 1:Zielgröße benennen – das Volumen \(V\) soll maximal werden.
- Schritt 2:Formel notieren: \(V=a\cdot b\cdot c\).
- Schritt 3:Nebeninformationen: \(a=b=20-2x\), \(c=x\).
- Schritt 4:Einsetzen: \(V=(20-2x)^{2}\cdot x\) – jetzt kommt nur noch \(x\) vor.
- Schritt 5:Zielfunktion: \(f(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x\) mit \(0<x<10\).
- Schritt 6:\(f′(x)=12x^{2}-160x+400=0\) liefert \(x=\tfrac{10}{3}\approx3{,}3\) und \(x=10\); \(f″(\tfrac{10}{3})=-80<0\) ⇒ Maximum.
- Schritt 7:Antwortsatz: Bei \(x\approx3{,}3\;\text{cm}\) ist das Volumen mit ca. \(592{,}6\;\text{cm}^{3}\) maximal.
Sieben Schritte: Zielgröße → Formel → Nebenbedingung → Einsetzen → Zielfunktion → Extremum → Antwortsatz
Zielfunktion: Durch Einsetzen der Nebenbedingung kommt nur noch \(x\) vor.
Extremum: \(f′(x)=0\) lösen und mit \(f″(x)\) prüfen; \(f″<0\) bedeutet Maximum.
Antwortsatz: Das Ergebnis wird immer im Sachzusammenhang formuliert.
Das Ergebnis am Graphen
Der Graph der Zielfunktion bestätigt die Rechnung.
- Verlauf:im Bereich \(0<x<10\) steigt \(V\) erst an und fällt dann auf null.
- Hochpunkt:bei \(x\approx3{,}3\) mit \(V\approx592{,}6\;\text{cm}^{3}\); Boden dann ca. \(13{,}3\;\text{cm}\).
- Vorzeichen von \(f′\):bei \(3{,}3\) Wechsel von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt), bei \(10\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt).
Stelle den Einschnitt \(x\) ein oder starte die Faltung mit ▶. Beobachte, wann die Schachtel am meisten fasst. Der gelbe Punkt merkt sich das größte Volumen, das du bisher erreicht hast.
Bedienung mit der Tastatur: Pfeil links und rechts ändern x um 0,1 cm, Bild auf und Bild ab um 1 cm, Pos1 und Ende springen an die Ränder, die Eingabetaste startet und stoppt die Faltung.
Halte fest: Kleines \(x\) gibt einen großen, flachen Kasten, großes \(x\) einen hohen mit winzigem Boden – dazwischen liegt das Optimum bei \(x\approx3{,}3\;\text{cm}\).
Box aus Papier: \(V_{\max}\approx592{,}6\;\text{cm}^{3}\) bei \(x=\tfrac{10}{3}\;\text{cm}\approx3{,}3\;\text{cm}\)
Verlauf: Im Bereich \(0<x<10\) steigt \(V\) erst an und fällt dann auf null.
Vorzeichenwechsel: \(f′\) wechselt bei \(3{,}3\) von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt).
Allgemeine Hinweise
Nur noch x
Nach Schritt 4 darf nur noch \(x\) im Term stehen. Sonst ist die Nebenbedingung nicht richtig eingesetzt.
Lösungen prüfen
Nicht jede Lösung von \(f′(x)=0\) passt. Bei \(x=10\) bleibt gar kein Boden übrig.
Antwort mit Einheit
Schritt 7 übersetzt zurück in die Sachsituation. Nenne den Wert mit Einheit.