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Extrempunkte mit dem GTR

Der Rechner findet Hoch- und Tiefpunkte auf Knopfdruck — der Ansatz \(f′(x)=0\) und die Deutung des Ergebnisses bleiben trotzdem deine Aufgabe.

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Was der GTR übernimmt

Der GTR zeichnet den Graphen und sucht darauf numerisch den höchsten oder tiefsten Punkt. Ansatz und Antwort bleiben deine Aufgabe.

  • Schritt 1:Ansatz \(f′(x)=0\) aufschreiben – für Wendepunkte \(f″(x)=0\).
  • Schritt 2:Eingabe \(Y_1=f(x)\) – für Wendepunkte zusätzlich \(Y_2=f′(x)\).
  • Schritt 3:Ausgabe: „minimum“ liefert den Tiefpunkt, „maximum“ den Hochpunkt.
  • Schritt 4:Interpretation: Werte runden und als Punkt notieren, z. B. \(P_{\min}(-1\mid 1)\).
Die vier Schritte auf einen Blick
1 Ansatzmathematischf′(x) = 0(Wendepunkt: f″(x) = 0)2 Eingabein den GTRY₁ = f(x)(Wendepunkt: Y₂ = f′(x))3 AusgabeMenü am Rechner„minimum“ → Tiefpunkt„maximum“ → Hochpunkt4 Interpretationselbst aufschreibenErgebnis rundenals Punkt P(x | y) notierenExtrem- und Wendepunkte mit dem GTR — immer dieselben vier SchritteDie Schritte 1 und 4 bleiben deine Arbeit — nur die Schritte 2 und 3 erledigt der Rechner.
Merke

Extrempunkte mit dem GTR: Ansatz \(f′(x)=0\) → \(Y_1=f(x)\) → „minimum“/„maximum“ → Punkt \(P(x\mid y)\)

Aufgabenteilung: Der GTR sucht numerisch den höchsten oder tiefsten Punkt; Ansatz und Antwort bleiben deine Aufgabe.

Wendepunkte: Ansatz \(f″(x)=0\), zusätzlich \(Y_2=f′(x)\) eingeben.

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Die vier Schritte am Beispiel

Beispiel: \(f(x)=3x^{2}+6x+4\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Sie hat genau einen Tiefpunkt.

  • Ansatz:\(f′(x)=0\).
  • Eingabe:\(Y_1=3X^{2}+6X+4\) – Vorzeichen in der Eingabezeile kontrollieren.
  • Ausgabe:„minimum“ zeigt \(X=-1\) und \(Y=1\).
  • Ergebnis:Der Graph hat den Tiefpunkt \(P_{\min}(-1\mid 1)\).
Der Bildschirm nach „minimum“
Y=WINDOWGRAPH2ndminimum−4−3−2−11224681012xyP_min(−1 | 1)Y₁ = f(x)Y₁ = 3X²+6X+4MinimumX = −1Y = 1▸ Ausgabezeile

Für Wendepunkte sucht der GTR den Extrempunkt der Ableitungskurve.

  • Ansatz:\(f″(x)=0\).
  • Idee:wo \(f″(x)=0\) ist, hat \(Y_2=f′(x)\) eine waagerechte Tangente.
  • Wendestelle:„minimum“ oder „maximum“ auf \(Y_2\) liefert \(x_W\).
  • \(y\)-Wert:\(f(x_W)\) auf \(Y_1\) ablesen.
Wendepunkt-Variante: \(Y_1=f\) und \(Y_2=f′\) auf einem Bildschirm
Y=WINDOWGRAPH2ndminimum−1123−4−224xyWendepunkt von fTiefpunkt von Y₂ = f′Y₁ = fY₂ = f′Y₁ = f(X) Y₂ = f′(X)Minimum von Y₂X = 1▸ gesuchte Wendestelle
  • Rundung:eine Anzeige wie \(-0{,}99999998\) bedeutet \(x=-1\).
  • Anzeigefenster:der GTR findet nur Punkte im sichtbaren Ausschnitt.
  • Mehrere Punkte:das Menü für jeden Extrempunkt neu aufrufen.
Merke

Wendepunkt mit dem GTR: Extremstelle von \(Y_2=f′(x)\) = Wendestelle von \(f\)

y-Wert: \(f(x_W)\) auf \(Y_1\) ablesen.

Hinweise: Der GTR findet nur Punkte im sichtbaren Ausschnitt; Anzeigen wie \(-0{,}99999998\) werden gerundet (hier \(x=-1\)) und als Punkt notiert.

Wähle eine Funktion für \(Y_1\), drücke „graph“ und rufe „minimum“ oder „maximum“ auf. Die vier Kästchen unter dem Bildschirm zeigen an, wo im Verfahren du gerade bist.

Nachgebauter GTR-Bildschirm

Y₁ = —Bildschirm leer — erst eine Funktion wählen, dann „graph“.bereitY=WINDOWGRAPH2ndCALCDie passende Taste leuchtet, sobald der zugehörige Schritt dran ist.

Bedienung mit der Tastatur: Pfeil links und rechts wechseln die Funktion, Enter geht einen Schritt weiter, Escape setzt zurück.

Eingabezeile: —. aktueller Schritt: —. Ergebnis: —. Zurückgesetzt. Schritt 1 ist der mathematische Ansatz; danach die Funktion eingeben.

Halte fest: Die Ausgabe ist krumm wie \(X=1{,}9999998\) – erst die Interpretation macht daraus einen gerundeten Punkt.

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Allgemeine Hinweise

Ansatz aufschreiben

Auch mit GTR gehört \(f′(x)=0\) in die Lösung. Er begründet, warum du suchst.

Richtiges Menü

Eine nach oben geöffnete Parabel hat kein „maximum“. Der Rechner zeigt dann höchstens einen Randwert des Fensters.

Fenster prüfen

Stelle das Fenster so ein, dass alle Extrempunkte sichtbar sind. Sonst übersiehst du einen.

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