Die perfekte Cola-Dose: Übungen – Mathe Klasse 11

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben rund um die sparsamste Dose — vom Blechbedarf einer fertigen Dose über die vollständige Rechnung bis zu eigenen Volumina. Fast alle Aufgaben verlangen eine Zahl, die man ausrechnen muss; Taschenrechner bereitlegen.

A1Zielgröße und NebenbedingungAFB I

Lies die Aufgabenstellung noch einmal und wähle in jedem Menü den passenden Eintrag.

Öffne jedes Menü und wähle den passenden Eintrag. Am Ende alles auf einmal prüfen.

In der Aufgabe soll minimal werden — das ist die Zielgröße.

Fest vorgegeben ist dagegen ; diese Angabe liefert die Nebenbedingung.

Die Formel \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\) enthält , deshalb kann man sie so noch nicht ableiten.

In Schritt 4 stellt man die Nebenbedingung nach um, weil diese Größe dort nur einfach und ohne Potenz vorkommt.

Die Zielgröße steht hinter dem Wort „minimal“, die Nebenbedingung ist die Angabe mit der festen Zahl. Nach \(r\) umzustellen wäre erlaubt, aber unbequem — es entstünde eine Wurzel.

A2Blechbedarf einer fertigen DoseAFB II

Eine Dose hat den Radius \(r=4\;\text{cm}\) und die Höhe \(h=6{,}6\;\text{cm}\). Berechne ihren Oberflächeninhalt auf eine Nachkommastelle genau.

Zwei Kreise plus Mantel: \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\). Rechne mit \(\pi\) auf dem Rechner, nicht mit 3.

\(2\pi\cdot 16=100{,}53\) und \(2\pi\cdot 4\cdot 6{,}6=165{,}88\), zusammen \(O\approx 266{,}4\;\text{cm}^{2}\). Diese Dose fasst übrigens \(\pi\cdot 16\cdot 6{,}6\approx 332\;\text{cm}^{3}\) — also ungefähr 330 ml, ist aber noch nicht die sparsamste Form.

A3Eine Dose mit 6 cm RadiusAFB II

Für \(V=330\;\text{cm}^{3}\) und \(r=6\;\text{cm}\) sollen alle Teilgrößen berechnet werden. Runde jeweils auf zwei Nachkommastellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Höhe aus der Nebenbedingung: \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}=\) \(\;\text{cm}\).

Deckel und Boden zusammen: \(2\pi r^{2}=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Mantelfläche: \(\dfrac{660}{r}=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Gesamter Blechbedarf: \(O(6)=\) \(\;\text{cm}^{2}\).

Diese flache, breite Dose braucht rund \(336\;\text{cm}^{2}\) Blech — etwa 72 cm² mehr als die optimale. Der Mantel ist zwar klein, aber Deckel und Boden sind teuer geworden.