Worum es geht
Eine 330-ml-Dose soll mit möglichst wenig Blech auskommen. Gesucht ist die Höhe, bei der ihr Oberflächeninhalt minimal ist.
- Zylinder:festgelegt durch Radius \(r\) und Höhe \(h\), beide in cm.
- Zielgröße:Oberflächeninhalt \(O\) – er soll minimal werden.
- Nebenbedingung:Volumen \(V=\pi r^{2}h=330\;\text{cm}^{3}\).
- Kopplung:wird die Dose breiter, wird sie automatisch flacher.
Das Netz der Dose zeigt, woraus \(O\) besteht.
- Deckel und Boden:zwei Kreise mit je \(\pi r^{2}\).
- Mantel:Rechteck mit der Breite \(2\pi r\) und der Höhe \(h\).
Oberfläche eines Zylinders: \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\) aus zwei Kreisen und dem Mantel.
Zielgröße: Der Oberflächeninhalt \(O\) soll minimal werden.
Nebenbedingung: \(V=\pi r^{2}h=330\;\text{cm}^{3}\); wird die Dose breiter, wird sie flacher.
Die sieben Schritte an der Dose
Das Schema aus dem vorigen Unterkapitel, angewendet auf die Dose.
- Schritt 1:der Oberflächeninhalt soll minimal werden.
- Schritt 2:\(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\).
- Schritt 3:\(\pi r^{2}h=330\).
- Schritt 4:nach \(h\) umstellen: \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}\), einsetzen: \(O=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\).
- Schritt 5:Zielfunktion \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\) mit \(r>0\).
- Schritt 6:\(O′(r)=4\pi r-\dfrac{660}{r^{2}}=0\) ⇒ \(r^{3}=\dfrac{165}{\pi}\) ⇒ \(r\approx3{,}74\); \(O″(r)=4\pi+\dfrac{1320}{r^{3}}>0\) ⇒ Minimum; \(h=\dfrac{330}{\pi\cdot3{,}74^{2}}\approx7{,}5\).
- Schritt 7:Bei \(r\approx3{,}74\;\text{cm}\) und \(h\approx7{,}5\;\text{cm}\) ist der Materialverbrauch minimal.
- Realität:echte Dosen sind schlanker – Stabilität und Handhabung zählen mit.
Verändere den Radius. Das Volumen bleibt bei 330 ml, die Höhe passt sich an und \(O\) wird live berechnet. Links wird die zugehörige Dose maßstabsgetreu gezeichnet, rechts wandert ein Punkt auf dem Graphen von \(O(r)\) mit; in der Nähe von \(r \approx 3{,}74\ \text{cm}\) rastet der Regler auf dem Minimum ein.
Bedienung mit der Tastatur: Pfeiltasten in kleinen Schritten, Umschalt plus Pfeil in großen, Bild auf und Bild ab in halben Zentimetern, Pos1 und Ende an die Ränder, Enter springt direkt auf das Optimum.
Halte fest: Um das Minimum herum ist die Kurve flach – eine sehr schlanke Dose wird dagegen schnell teuer.
Cola-Dose: \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\), Minimum bei \(r\approx3{,}74\;\text{cm}\), \(h\approx7{,}5\;\text{cm}\)
Vorgehen: \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}\) in \(O\) einsetzen, dann \(O'(r)=0\) lösen und mit \(O''(r)>0\) das Minimum bestätigen.
Realität: Echte Dosen sind schlanker, da Stabilität und Handhabung mitzählen.
Allgemeine Hinweise
Nach h umstellen
\(h\) steht in \(\pi r^{2}h\) nur einmal und ohne Potenz. So vermeidest du Wurzeln in der Zielfunktion.
Richtig kürzen
In \(2\pi r\cdot\frac{330}{\pi r^{2}}\) kürzen sich \(\pi\) und ein \(r\). Übrig bleibt \(\frac{660}{r}\).
Höhe nicht vergessen
Gefragt ist die Höhe. Berechne sie am Ende aus der Nebenbedingung.