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Der Gartenpool wird abgelassen
AFBIm Herbst wird ein Gartenpool über das Bodenventil entleert. Weil der Wasserdruck mit sinkendem Wasserstand abnimmt, fließt das Wasser immer langsamer ab. Das Wasservolumen im Pool wird durch \(V(t)=12000-240t+1{,}2t^{2}\) beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Minuten seit dem Öffnen des Ventils, \(V(t)\) das Volumen in Litern (M1).
Die Ableitung \(V'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate des Volumens in \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\) an.
M1Wasser im Pool
- Lesen Sie aus M1 ab, wie viel Wasser anfangs im Pool ist und nach welcher Zeit er leer ist.Tipp a)Den Anfangswert finden Sie bei \(t=0\). Leer ist der Pool dort, wo der Graph die Zeitachse erreicht.
- Geben Sie die Ableitung \(V'(t)\) an.Tipp b)Leiten Sie jeden Summanden einzeln ab: Die Konstante fällt weg, bei \(1{,}2t^{2}\) bleibt der Faktor \(1{,}2\) stehen.
- Berechnen Sie, wie viel Wasser 25 Minuten nach dem Öffnen pro Minute und pro Sekunde abfließt.Tipp c)Setzen Sie \(t=25\) in \(V'\) ein. Das Minuszeichen zeigt nur an, dass das Volumen abnimmt.
- Nennen Sie den Wert der zweiten Ableitung \(V''(t)\) und die Größe, die er im Sachzusammenhang beschreibt.Tipp d)Leiten Sie \(V'(t)=-240+2{,}4t\) noch einmal ab. \(V''\) ist die Änderungsrate der Abflussrate.
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