Die Ableitung ist eine Steigung
Die Ableitung \(f'(x_0)\) sagt dir, wie steil der Graph an der Stelle \(x_0\) ist.
- Tangente:die Gerade, die sich im Punkt \((x_0\mid f(x_0))\) an den Graphen anschmiegt.
- Ableitung an einer Stelle:\(f'(x_0)\) ist eine Zahl — die Steigung dieser Tangente.
- Ableitungsfunktion:\(f'\) ordnet jeder Stelle \(x\) die Tangentensteigung zu. Sie hat einen eigenen Graphen.
- Vorzeichen:\(f'(x_0)>0\): Graph steigt; \(f'(x_0)<0\): Graph fällt; \(f'(x_0)=0\): Tangente waagerecht.
- Schreibweisen:\(f'(x)\), \(y'\) oder \(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) — hier immer \(f'\).
Ableitung: \(f'(x_0)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((x_0\mid f(x_0))\); sie sagt, wie steil der Graph an dieser Stelle ist.
Ableitungsfunktion: \(f'\) ordnet jeder Stelle \(x\) die Tangentensteigung zu.
Vorzeichen: \(f'(x_0)>0\) Graph steigt, \(f'(x_0)<0\) Graph fällt, \(f'(x_0)=0\) Tangente waagerecht.
Die vier Regeln
Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Vielfachen von \(x\)-Potenzen, etwa \(f(x)=\tfrac14x^{4}-x^{3}+5\). Dafür reichen vier Regeln.
- Potenzregel:\(f(x)=x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=n\cdot x^{n-1}\) — Exponent nach vorn, dann um 1 verkleinern.
- Faktorregel:\(f(x)=c\cdot g(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=c\cdot g'(x)\) — der Faktor bleibt stehen.
- Summenregel:\(f(x)=g(x)+h(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=g'(x)+h'(x)\) — jeden Summanden einzeln ableiten.
- Konstantenregel:\(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\) — eine waagerechte Gerade hat Steigung 0.
- \(f(x)=x\):\(x=x^{1}\), also \(f'(x)=1\cdot x^{0}=1\).
- \(f(x)=x^{2}\):\(f'(x)=2x\).
- Absolutes Glied:der Summand ohne \(x\) fällt weg: \(x^{3}+5\;\to\;3x^{2}\).
- Vorzeichen:das Minus gehört zum Faktor: \(-x^{3}\;\to\;-3x^{2}\).
- Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^{4}-x^{3}+5\;\Rightarrow\;f'(x)=x^{3}-3x^{2}\).
Ableitung einer Potenz: \(f(x)=a\cdot x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}\)
Faktorregel: Ein Faktor bleibt beim Ableiten stehen.
Summenregel: Jeder Summand wird einzeln abgeleitet.
Konstantenregel: \(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\); ein absolutes Glied fällt weg.
Stell bis zu vier Summanden mit Faktor und Exponent ein. Vergleiche den Graphen von \(f\) (blau) mit dem Graphen von \(f'\) (orange). Setz einen Summanden auf den Faktor 0, wenn du ihn nicht brauchst; oben rechts steht die Ableitung \(f'(x)\).
Stelle die vier Summanden ein.
Halte fest: Wo der orange Graph die \(x\)-Achse schneidet, hat der blaue Graph eine waagerechte Tangente.
Die zweite Ableitung
Leitest du \(f'\) noch einmal ab, erhältst du die zweite Ableitung \(f''\). Es gelten dieselben vier Regeln.
- Graph von \(f'\):wo er die \(x\)-Achse schneidet, ist die Tangente an \(f\) waagerecht.
- Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^{4}-2x^{2}\;\Rightarrow\;f'(x)=x^{3}-4x\).
- Zweite Ableitung:\(f''\) entsteht durch Ableiten von \(f'\). Sie beschreibt später die Krümmung.
- Beispiel:\(f'(x)=x^{3}-3x^{2}\;\Rightarrow\;f''(x)=3x^{2}-6x\).
- Grad:bei jedem Ableiten sinkt der Grad um 1.
Zweite Ableitung: \(f''(x)=\big(f'(x)\big)'\); sie entsteht durch erneutes Ableiten von \(f'\) mit denselben Regeln.
Grad: Bei jedem Ableiten sinkt der Grad um 1.
Zusammenhang: Schneidet \(f'\) die \(x\)-Achse, hat \(f\) dort eine waagerechte Tangente.
Allgemeine Hinweise
Aus x wird 1
Wegen \(x=x^{1}\) ist die Ableitung \(1\cdot x^{0}=1\). Das Ergebnis ist nicht 0.
Konstanten fallen weg
Ein Summand ohne \(x\) liefert beim Ableiten 0. In \(f'\) taucht er nicht mehr auf.
Grad prüfen
Der Grad von \(f'\) ist um 1 kleiner als der von \(f\). Steht die höchste Potenz noch da, fehlt ein Schritt.