Die Quadratwurzelfunktion
Erlaubst du im Exponenten einer Potenzfunktion auch Brüche, entstehen Wurzelfunktionen. Der wichtigste Fall ist der Exponent \(n=\frac{1}{2}\).
Die Kurve steigt zuerst sehr steil an und wird dann immer flacher. Für die Quadratzahlen \(1\), \(4\) und \(9\) liest man die Funktionswerte \(1\), \(2\) und \(3\) ab.
- Exponent:\(n=\frac{1}{2}\) — ein Bruch, keine ganze Zahl.
- Schreibweisen:\(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\); beide Formen bedeuten dasselbe.
- Definitionsmenge:\(D=\mathbb{R}_{0}^{+}\), also alle \(x\ge 0\) — kein Quadrat ist negativ.
- Verlauf:Start im Ursprung \(O(0\,|\,0)\), streng steigend, nach rechts immer flacher.
Quadratwurzelfunktion: \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) mit \(x\ge 0\); sie entsteht aus der Potenzfunktion mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\).
Definitionsmenge: \(D=\mathbb{R}_{0}^{+}\), da kein Quadrat negativ ist.
Verlauf: Start im Ursprung, streng steigend, nach rechts immer flacher.
Die Kubikwurzelfunktion
Mit dem Exponenten \(n=\frac{1}{3}\) entsteht die dritte Wurzel, die Kubikwurzel.
Beide Kurven beginnen im Ursprung und gehen durch \((1\,|\,1)\). Für \(x>1\) liegt der Graph der Kubikwurzelfunktion unterhalb des Graphen der Quadratwurzelfunktion.
- Kubikwurzel:\(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\), z. B. \(\sqrt[3]{8}=2\), denn \(2^{3}=8\).
- Muster:Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelexponenten.
- Gemeinsame Punkte:beide Kurven gehen durch \((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\).
- Vergleich:rechts von \(x=1\) steigt \(\sqrt[3]{x}\) flacher — den Wert \(2\) erreicht \(\sqrt{x}\) bei \(x=4\), \(\sqrt[3]{x}\) erst bei \(x=8\).
- Definitionsmenge:im Kurs ebenfalls \(x\ge 0\), damit beide Wurzelfunktionen dieselbe haben.
Wurzelfunktion: \(x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\) mit \(x\ge 0\); der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelexponenten.
Kubikwurzel: \(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\); sie steigt rechts von \(x=1\) flacher als \(\sqrt{x}\).
Gemeinsame Punkte: Beide Kurven gehen durch \((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\).
Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
Die Wurzelkurve ist das Spiegelbild der Parabel \(y=x^{2}\) für \(x\ge 0\) an der Winkelhalbierenden \(y=x\).
Beide Kurven schneiden die Winkelhalbierende in \((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\) und liegen spiegelbildlich zu ihr.
- Spiegelachse:die Winkelhalbierende \(y=x\).
- Bildpunkt:zu \(P(a\,|\,b)\) auf \(y=x^{2}\) gehört \(P'(b\,|\,a)\) auf \(y=\sqrt{x}\).
- Einschränkung:nur der rechte Parabelast \(x\ge 0\) wird gespiegelt — sonst gäbe es zu einem \(x\) zwei Wurzelwerte.
- Feste Punkte:\((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\) liegen auf der Spiegelachse.
- Beispiel:aus \(5=\sqrt{x}\) folgt durch Quadrieren \(x=5^{2}=25\).
Ziehe den orangen Punkt \(P\) auf der blauen Potenzkurve und beobachte den grünen Bildpunkt \(P'\). Mit den Schaltflächen wechselst du zwischen \(x^{2}\) mit \(\sqrt{x}\) und \(x^{3}\) mit \(\sqrt[3]{x}\). Oben rechts steht die passende Nachrechnung.
Bedienung: den Punkt P ziehen, den Regler benutzen oder P anklicken und mit den Pfeiltasten verschieben; Umschalt plus Pfeil macht große Schritte, Enter wechselt das Funktionenpaar.
Halte fest: \(P\) und \(P'\) liegen spiegelbildlich zu \(y=x\) — ihre Koordinaten sind nur vertauscht.
Umkehrfunktion: \(f(x)=\sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x)=x^{2}\) für \(x\ge 0\).
Spiegelung: Der Graph von \(\sqrt{x}\) ist das Spiegelbild des rechten Parabelastes an der Winkelhalbierenden \(y=x\); zu \(P(a\,|\,b)\) gehört \(P'(b\,|\,a)\).
Einschränkung: Nur \(x\ge 0\) wird gespiegelt, sonst gäbe es zu einem \(x\) zwei Wurzelwerte.
Allgemeine Hinweise
Nur \(x\ge 0\)
Aus einer negativen Zahl gibt es keine Quadratwurzel. Der Graph von \(\sqrt{x}\) beginnt deshalb im Ursprung.
Bruch im Exponenten
\(x^{\frac{1}{2}}\) ist nicht \(\frac{1}{2}x\). Der Bruch im Exponenten steht für eine Wurzel.
Umkehrung nutzen
Fehlt die \(x\)-Koordinate, potenzierst du. Aus \(\sqrt[3]{x}=5\) folgt \(x=5^{3}=125\).