Fünf Winkel, die immer wieder vorkommen
Ein Winkel entsteht zwischen zwei Schenkeln mit gemeinsamem Scheitelpunkt. Gemessen wird er als Bogen gegen den Uhrzeigersinn.
Der rote Bogen zeigt jedes Mal, wie weit der Winkel geht. Beim vollen Winkel schließt sich der Bogen zu einem ganzen Kreis.
- 45°:spitzer Winkel, der zweite Schenkel zeigt schräg nach rechts oben.
- 90°:rechter Winkel, die Schenkel stehen senkrecht aufeinander.
- 180°:gestreckter Winkel, der Bogen ist ein Halbkreis.
- 270°:überstumpfer Winkel, der Bogen läuft außen herum.
- 360°:voller Winkel, der Bogen schließt den Kreis.
Winkel: Er entsteht zwischen zwei Schenkeln mit gemeinsamem Scheitelpunkt und wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Merkwinkel: \(45^\circ\) spitz, \(90^\circ\) rechter Winkel, \(180^\circ\) gestreckt, \(270^\circ\) überstumpf, \(360^\circ\) voller Winkel.
Vom Kreisumfang zum Einheitskreis
Der Umfang eines Kreises hängt nur vom Radius \(r\) ab. Besonders wichtig ist der Kreis mit \(r=1\).
- Kreisumfang:\(U=2\pi r\) — doppelter Radius, doppelter Umfang.
- Einheitskreis:Kreis mit dem Radius \(r=1\), ohne Einheit.
- Umfang:im Einheitskreis \(U=2\pi\cdot1=2\pi\approx6{,}28\).
- Voller Winkel:\(360^\circ\) gehören zur Bogenlänge \(2\pi\).
Links der allgemeine Kreis mit dem Radius \(r\), rechts der Einheitskreis mit \(r = 1\).
Kreisumfang: \(U=2\pi r\); er hängt nur vom Radius ab.
Einheitskreis: Kreis mit \(r=1\), also \(U=2\pi\).
Zuordnung: Der volle Winkel \(360^\circ\) gehört zur Bogenlänge \(2\pi\).
Ziehe den Punkt, nutze den Regler oder die Pfeiltasten. Achte darauf, wie lang der rote Bogen wird. Der Zeiger startet auf der positiven \(x\)-Achse und läuft gegen den Uhrzeigersinn; oben rechts stehen derselbe Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß.
Bedienung: den roten Punkt am Kreis ziehen oder in den Kreis tippen; den Punkt mit Tab anwählen, dann mit den Pfeiltasten um 1 Grad, mit Bild auf und Bild ab um 15 Grad drehen, Pos1 und Ende springen auf 0 und 360 Grad.
Halte fest: Bei \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(360^\circ\) ist der Bogen \(1{,}57\), \(3{,}14\) und \(6{,}28\) lang — also \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\pi\) und \(2\pi\).
Gradmaß und Bogenmaß
Ein Winkel lässt sich auf zwei Arten angeben: im Gradmaß \(\alpha\) oder als Bogenlänge \(b\) im Einheitskreis.
Grün der Winkel selbst, rot der zugehörige Bogen. Beide beschreiben dieselbe Öffnung zwischen den Schenkeln.
- Gradmaß:Winkel in Grad, der volle Winkel ist \(360^\circ\).
- Bogenmaß:Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis, eine reine Zahl.
- Merkwerte:\(360^\circ=2\pi\), \(180^\circ=\pi\), \(90^\circ=\tfrac{\pi}{2}\).
Zwei Richtungen, zwei Faktoren — und die beiden Faktoren sind Kehrwerte voneinander.
- Grad → Bogen:mit \(\tfrac{\pi}{180^\circ}\) multiplizieren.
- Bogen → Grad:mit \(\tfrac{180^\circ}{\pi}\) multiplizieren.
- Kehrwerte:die beiden Faktoren sind Kehrwerte voneinander.
- Beispiel:\(90^\circ\cdot\tfrac{\pi}{180^\circ}=\tfrac{\pi}{2}\approx1{,}57\) und \(0{,}8\cdot\tfrac{180^\circ}{\pi}\approx45{,}8^\circ\).
Gradmaß und Bogenmaß: Ein Winkel wird als \(\alpha\) in Grad oder als Bogenlänge \(b\) im Einheitskreis angegeben; das Bogenmaß ist eine reine Zahl.
Merkwerte: \(360^\circ=2\pi\), \(180^\circ=\pi\), \(90^\circ=\tfrac{\pi}{2}\).
\(b=\alpha\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}\qquad\alpha=b\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi}\)
Stelle eine Zahl ein und lies oben rechts ab, was der Faktor daraus macht. Die gestrichelte Linie verbindet denselben Winkel auf beiden Skalen: oben die Skala im Gradmaß, unten dieselbe Skala im Bogenmaß.
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Halte fest: Ein Bogenmaß ist eine reine Zahl, der volle Kreis endet bei \(6{,}28\). Stelle im Bogenmaß genau \(1\) ein: Das sind knapp \(57^\circ\).
Allgemeine Hinweise
Kein Gradzeichen
Ein Bogenmaß ist eine reine Zahl. Schreibe also nie \(1{,}57^\circ\) für \(\tfrac{\pi}{2}\).
Faktor prüfen
Ins Bogenmaß rechnest du mit \(\tfrac{\pi}{180^\circ}\). Das Gradzeichen muss sich dabei wegkürzen.
Schnelle Probe
Mehr als \(360^\circ\) bzw. \(6{,}28\) ist mehr als ein Umlauf. Passt das nicht zur Aufgabe, hast du dich verrechnet.