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Einfluss des Vorfaktors a

Ein einziger Faktor vor der Potenz genügt, um einen Graphen zu strecken, zu stauchen oder umzuklappen — und mit d und e verschiebst du ihn zusätzlich.

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Der Vorfaktor a

In \(f(x)=a\cdot(x+d)^{n}+e\) multipliziert der Vorfaktor \(a\) jeden Funktionswert.

  • Grundgestalt:legt der Exponent \(n\) fest; \(a\), \(d\) und \(e\) ändern sie nicht grundsätzlich.
  • \(a>1\):Streckung in \(y\)-Richtung — der Graph wird steiler.
  • \(0<a<1\):Stauchung — der Graph wird flacher.
  • \(a<0\):zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse.
  • Beispiel:\(a=-2\): Streckung und Spiegelung; \(a=-\frac{1}{3}\): Stauchung und Spiegelung.
  • \(a=0\):ergibt nur noch die \(x\)-Achse — kein Potenzgraph mehr.
Derselbe Grundgraph, drei verschiedene Vorfaktoren
−4−3−2−11234−3−2−1123xya = 1 (Ausgangskurve)a = 2 gestreckta = 0,5 gestauchta = −1 gespiegeltAlle vier Kurven gehen durch den Ursprung.

Ausgangskurve ist \(f(x)=x^{3}\) (grau gestrichelt). Mit \(a=2\) wird sie steiler, mit \(a=0{,}5\) flacher, mit \(a=-1\) an der \(x\)-Achse gespiegelt.

Merke

Vorfaktor \(a\): \(|a|>1\) streckt (steiler), \(0<|a|<1\) staucht (flacher), \(a<0\) spiegelt zusätzlich an der \(x\)-Achse.

Grundgestalt: Sie legt der Exponent \(n\) fest; für \(a=0\) bleibt nur die \(x\)-Achse, kein Potenzgraph mehr.

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Verschieben mit d und e

\(d\) und \(e\) verschieben den fertigen Graphen, ohne seine Form zu verändern.

  • \(d>0\):Verschiebung nach links, z. B. \((x+2)^{2}\).
  • \(d<0\):Verschiebung nach rechts, z. B. \((x-2)^{2}\).
  • \(e>0\):Verschiebung nach oben, z. B. \(x^{2}+1\).
  • \(e<0\):Verschiebung nach unten, z. B. \(x^{2}-2\).
  • Beispiel:\(y=x^{3}\) um \(3\) nach rechts: \(y=(x-3)^{3}\).
Verschieben der Normalparabel
−3−2−11231234xy−3−2−1123−2−11234xyParameter d — waagerecht verschiebenParameter e — senkrecht verschiebengrün: (x + 2)² nach links · rot: (x − 2)² nach rechtsgrün: x² + 1 nach oben · rot: x² − 2 nach untenGrau gestrichelt ist jeweils die Ausgangsparabel f(x) = x².

Links wirkt \(d\), rechts wirkt \(e\). Der Term \((x+2)^{2}\) schiebt nach links, \((x-2)^{2}\) nach rechts; \(x^{2}+1\) hebt an, \(x^{2}-2\) senkt ab.

Stelle \(n\), \(a\), \(d\) und \(e\) ein. Ziehe zuerst nur am Regler für \(a\), danach an \(d\) und \(e\). Blau ist der Graph von \(f(x)=a\cdot (x+d)^{n}+e\), grau gestrichelt die Ausgangskurve \(f(x)=x^{n}\); der orange Punkt markiert, wohin der Ursprung der Ausgangskurve verschoben wurde.

Parameter-Labor

−3−2−1123−4−3−2−11234xygrau gestrichelt: xⁿ

Halte fest: \(a\) verformt die Kurve um die \(x\)-Achse herum, \(d\) und \(e\) schieben sie nur — \(d>0\) nach links, \(e>0\) nach oben.

Merke

Verschiebung: \(a\cdot(x+d)^{n}+e\) ist gegenüber \(a\cdot x^{n}\) um \(-d\) in \(x\)- und um \(e\) in \(y\)-Richtung verschoben.

Richtung: \(d>0\) nach links, \(d<0\) nach rechts; \(e>0\) nach oben, \(e<0\) nach unten. Die Form bleibt unverändert.

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Allgemeine Hinweise

d wirkt entgegen

Ein Plus in der Klammer schiebt nach links, ein Minus nach rechts. \((x-2)^{n}\) liegt also 2 Einheiten weiter rechts.

Erst Form, dann Lage

\(n\) und \(a\) bestimmen die Form des Graphen. \(d\) und \(e\) verschieben die fertige Form nur.

Symmetrie nutzen

Aus \(f(2)=32\) folgt für \(f(x)=x^{5}\) sofort \(f(-2)=-32\). Bei geradem Exponenten bleibt der Wert gleich.

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