Spiegeln an der y-Achse
Ein achsensymmetrischer Graph hat links und rechts der \(y\)-Achse in gleichem Abstand dieselbe Höhe.
- Spiegelachse:die \(y\)-Achse, also die Gerade \(x=0\).
- Bildpunkt:zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört \(P'(-x\,|\,f(x))\).
- Bedingung:\(f(-x)=f(x)\) für jedes \(x\) der Definitionsmenge.
- Beispiel:die Normalparabel \(f(x)=x^{2}\).
Die waagerechten Doppelpfeile verbinden jeweils zwei Kurvenpunkte gleicher Höhe — die \(y\)-Achse wirkt wie ein Spiegel.
Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\) für jedes \(x\) der Definitionsmenge.
Spiegelung: Spiegelachse ist die \(y\)-Achse; zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört \(P'(-x\,|\,f(x))\).
Drehen um den Ursprung
Ein punktsymmetrischer Graph bleibt gleich, wenn du ihn um \(180^\circ\) um den Ursprung drehst.
- Symmetriezentrum:der Ursprung \(O(0\,|\,0)\).
- Bildpunkt:zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört \(P'(-x\,|\,-f(x))\) — beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen.
- Bedingung:\(f(-x)=-f(x)\) für jedes \(x\) der Definitionsmenge.
- Beispiel:\(f(x)=x^{3}\).
Die Doppelpfeile laufen durch den Ursprung: Jeder Punkt oben rechts hat seinen Partner unten links.
Ziehe \(P\) über den Graphen, wähle Spiegelung an der \(y\)-Achse oder Drehung um den Ursprung und prüfe, ob der Bildpunkt auf der Kurve landet. Der orange Punkt \(P\) läuft auf dem Graphen, der grüne Punkt \(P'\) ist sein Spiegelbild.
Bedienung: den Punkt P ziehen, den Regler benutzen oder P anklicken und mit den Pfeiltasten verschieben; Umschalt plus Pfeil macht große Schritte.
Halte fest: bei \(x^{2}\) und \(3x^{2}\) passt nur die Spiegelung, bei \(x^{3}\), \(x^{-3}\) und \(x^{5}+x^{3}\) nur die Drehung. Ein einzelner Punkt beweist aber noch nichts.
Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\) für jedes \(x\) der Definitionsmenge.
Drehung: Der Graph bleibt bei \(180^\circ\)-Drehung um \(O(0\,|\,0)\) gleich; zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört \(P'(-x\,|\,-f(x))\).
Hinweis: Ein einzelner Punkt beweist noch nichts.
Symmetrie nachweisen
Der Nachweis gelingt immer mit denselben drei Schritten.
- Schritt 1:\(-x\) in Klammern einsetzen und \(f(-x)\) aufschreiben.
- Schritt 2:vereinfachen: \((-x)^{2}=x^{2}\), aber \((-x)^{3}=-x^{3}\).
- Schritt 3:vergleichen: \(f(x)\) heißt achsensymmetrisch, \(-f(x)\) heißt punktsymmetrisch.
- Beispiel:\(f(x)=x^{5}+x^{3}\): \(f(-x)=-x^{5}-x^{3}=-f(x)\) — punktsymmetrisch.
- Negative Exponenten:\(f(x)=x^{-100}\): \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^{100}}=f(x)\) — achsensymmetrisch.
- Vorfaktor:\(3x^{2}\) bleibt achsensymmetrisch; ein konstanter Faktor ändert nichts.
Potenzfunktion \(x^{n}\): \(n\) gerade \(\Rightarrow\) achsensymmetrisch, \(n\) ungerade \(\Rightarrow\) punktsymmetrisch; das gilt auch für negative Exponenten.
Nachweis: \(-x\) in Klammern einsetzen, vereinfachen, vergleichen: \(f(x)\) heißt achsensymmetrisch, \(-f(x)\) punktsymmetrisch.
Vorfaktor: Ein konstanter Faktor ändert die Symmetrie nicht.
Allgemeine Hinweise
Ein Punkt beweist nichts
Ein passendes Punktepaar reicht nicht als Nachweis. Die Gleichung muss für jedes \(x\) gelten.
Klammer um −x
Setze \(-x\) immer mit Klammer ein. Aus \((-x)^{3}\) wird \(-x^{3}\), das Minus darf nicht verloren gehen.
Exponenten ansehen
Hat jeder Summand einen geraden Exponenten, ist der Graph achsensymmetrisch. Sind alle ungerade, ist er punktsymmetrisch.