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Die Funktion sin(x)

Ein Vorfaktor, ein Faktor im Argument und zwei Summanden: Du untersuchst, wie vier Parameter die Sinuskurve strecken, stauchen, spiegeln und verschieben.

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Die untersuchte Funktion

Mit Faktoren und Summanden wird aus \(\sin(x)\) eine ganze Familie von Kurven. Wir untersuchen die Funktion mit den vier Parametern \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\).

Vier Parameter, vier Wirkungen
Die untersuchte Funktionf(x) = a · sin( b · ( x + c ) ) + dParameter astreckt und staucht in y-RichtungParameter bstreckt und staucht in x-RichtungParameter cverschiebt entlang der x-AchseParameter dverschiebt entlang der y-Achse

Jede Farbe gehört zu einem Parameter — dieselben Farben findest du in den folgenden Schaubildern wieder.

  • Parameter a:Vorfaktor vor dem Sinus.
  • Parameter b:Faktor im Argument, direkt vor der Klammer.
  • Parameter c:wird in der Klammer zu \(x\) addiert.
  • Parameter d:wird am Ende zum ganzen Term addiert.
Merke

Allgemeine Sinusfunktion: \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\).

Parameter: \(a\) ist der Vorfaktor, \(b\) der Faktor vor der Klammer, \(c\) wird in der Klammer zu \(x\) addiert, \(d\) wird am Ende addiert.

Parameter a

Der Vorfaktor \(a\) multipliziert jeden Funktionswert von \(\sin(x)\).

Der Parameter a
Der Parameter a verändert die Amplitudesin(x)3·sin(x)−0,5·sin(x)xy−11234567−3−2−112300,513

Die Pfeile zeigen, wie hoch die jeweilige Kurve über die \(x\)-Achse steigt: bei \(\sin(x)\) bis \(1\), bei \(3\cdot\sin(x)\) bis \(3\); die Kurve \(-0{,}5\cdot\sin(x)\) geht an dieser Stelle stattdessen bis \(-0{,}5\) nach unten.

  • |a| > 1:Graph in \(y\)-Richtung gestreckt.
  • 0 < |a| < 1:Graph in \(y\)-Richtung gestaucht.
  • a < 0:Graph zusätzlich an der \(x\)-Achse gespiegelt.
  • Nullstellen:bleiben gleich — wo \(\sin(x)=0\) ist, ist auch \(a\cdot\sin(x)=0\).
Merke

Amplitude: \(|a|\) ist der größte Abstand der Kurve von der Mittellinie.

Wirkung: \(|a|>1\) streckt, \(0<|a|<1\) staucht in \(y\)-Richtung; bei \(a<0\) wird zusätzlich an der \(x\)-Achse gespiegelt. Die Nullstellen bleiben.

Parameter b

Der Faktor \(b\) wirkt auf die \(x\)-Werte. Er bestimmt die Periode \(p\), also den Abstand zweier gleicher Stellen der Kurve.

Der Parameter b
Der Parameter b verändert die Periodesin(x) — p = 2πsin(2x) — p = πxy1−10−ππ2πp = πp = 2π

Die Messlinien laufen jeweils von einem Tiefpunkt zum nächsten: bei \(\sin(x)\) ist \(p=2\pi\), bei \(\sin(2x)\) nur noch \(p=\pi\).

  • |b| > 1:Graph in \(x\)-Richtung gestaucht, die Periode wird kürzer.
  • 0 < |b| < 1:Graph in \(x\)-Richtung gestreckt, die Periode wird länger.
  • b < 0:Graph zusätzlich an der \(y\)-Achse gespiegelt.
  • Beispiel:\(b=1\): \(p=2\pi\); \(b=2\): \(p=\pi\).
Merke

Periode: Der Faktor \(b\) bestimmt den Abstand zweier gleicher Stellen:

\(p=\dfrac{2\pi}{|b|}\)

Wirkung: \(|b|>1\) staucht in \(x\)-Richtung (kürzere Periode), \(0<|b|<1\) streckt (längere Periode); bei \(b<0\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt.

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Parameter c

Der Parameter \(c\) schiebt die ganze Kurve waagerecht. Form und Höhe bleiben gleich.

Der Parameter c
Der Parameter c verschiebt entlang der x-Achsesin(x)sin(x−1)sin(x−½π)xy−11234561−10um 1 nach rechtsum ½π nach rechts

\(\sin(x-1)\) ist um \(1\) nach rechts gewandert, \(\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) um \(\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\).

  • c > 0:Verschiebung nach links.
  • c < 0:Verschiebung nach rechts.
  • Beispiel:\(\sin(x-1)=\sin\big(x+(-1)\big)\), also \(c=-1\): um \(1\) nach rechts.
Merke

Verschiebung in \(x\)-Richtung: um \(-c\); bei \(x+c\) um \(c\) nach links. Form und Höhe bleiben gleich.

Vorzeichen: \(c>0\) verschiebt nach links, \(c<0\) nach rechts.

Parameter d

Der Summand \(d\) wird zu jedem Funktionswert addiert. Die Kurve hebt oder senkt sich, die Form bleibt.

Der Parameter d
Der Parameter d verschiebt entlang der y-Achsesin(x)sin(x)+2sin(x)−1xy1234567−2−11230+2−1

\(\sin(x)+2\) liegt um \(2\) höher, \(\sin(x)-1\) um \(1\) tiefer. Die Pfeile messen die Verschiebung an einer Nullstelle von \(\sin(x)\).

  • d > 0:Verschiebung nach oben.
  • d < 0:Verschiebung nach unten.
  • Mittellinie:die Welle schwingt um die Gerade \(y=d\).
Merke

Verschiebung in \(y\)-Richtung: \(d>0\) nach oben, \(d<0\) nach unten; die Form bleibt.

Mittellinie: Die Welle schwingt um die Gerade \(y=d\).

Wertebereich: \(W=[\,d-|a|\,;\,d+|a|\,]\).

Stelle alle vier Parameter selbst ein. Die graue Kurve \(\sin(x)\) bleibt zum Vergleich. Lass \(c\) und \(d\) zunächst auf \(0\). Jeder Regler gehört zu einem Parameter aus \(f(x)= a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\). Mit dem Knopf stellst du alles wieder auf die Ausgangskurve \(\sin(x)\) zurück.

Sinus-Parameterlabor

xy−2π−1½π−π−½π½ππ1½π2π−4−2−11240sin(x)Aktuelle Wertea =1,0b =1,0c =1,0d =1,0Amplitude | a |1,0Periode2π| b |6,28

f(x) = sin(x). Alle Parameter stehen auf ihrem Ausgangswert.

Bei negativem \(a\) klappt die Kurve um, die Amplitude bleibt positiv. Je größer \(|b|\), desto kürzer die Periode \(\frac{2\pi}{|b|}\).

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Allgemeine Hinweise

Vorzeichen von c

Ein Plus in der Klammer schiebt nach links. Bei \(\sin(x-1)\) ist \(c=-1\), die Kurve wandert nach rechts.

b staucht

Großes \(|b|\) macht die Wellen enger, nicht breiter. Die Periode ist \(\frac{2\pi}{|b|}\).

Reihenfolge

Lies zuerst \(d\) und \(a\) für die Höhe ab. Dann folgen \(b\) und \(c\) für die Lage auf der \(x\)-Achse.

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