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Potenzfunktionen

Setzt man für die Basis eine Variable ein und hält den Exponenten fest, entsteht eine Potenzfunktion mit ganz eigenen Graphen.

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Von der Potenz zur Funktion

Hält man den Exponenten fest und macht die Basis variabel, wird aus einer Potenz eine Funktion.

  • Basis:die Variable \(x\), die potenziert wird.
  • Exponent:feste natürliche Zahl \(n\); sie zählt, wie oft \(x\) als Faktor vorkommt.
  • Stelle:der eingesetzte \(x\)-Wert, z. B. \(x=2\).
  • Funktionswert:das Ergebnis, z. B. \(f(2)=2^{3}=8\) bei \(f(x)=x^{3}\).
  • Punkt:Stelle und Funktionswert ergeben einen Punkt des Graphen, hier \(P(2\,|\,8)\).
  • Definitionsbereich:jede reelle Zahl darf eingesetzt werden: \(D=\mathbb{R}\).
Aus einer Potenz wird eine Funktionsvorschrift
die Potenzx3BasisExponent heißtausgeschriebenx · x · xdrei gleiche Faktorenals Funktionf(x) = x³x = 2Stelle8FunktionswertAus einer Potenz wird eine Funktion, sobald die Basis eine Variable ist

Links die Bausteine der Potenz, rechts die fertige Funktion: Setzt man für x die Zahl 2 ein, liefert die Vorschrift den Wert 8.

Merke

Potenzfunktion: \(f(x)=x^{n}\) mit \(n\in\mathbb{N}\), \(D=\mathbb{R}\).

Aufbau: Die Basis ist die Variable \(x\), der Exponent \(n\) ist fest und gibt an, wie oft \(x\) als Faktor vorkommt.

Punkt: Stelle und Funktionswert ergeben einen Punkt des Graphen.

Basis oder Exponent?

\(x^{2}\) und \(2^{x}\) sehen ähnlich aus, sind aber verschiedene Funktionstypen.

  • Potenzfunktion:\(x\) steht unten in der Basis, der Exponent ist fest: \(x^{2}\), \(x^{5}\).
  • Exponentialfunktion:\(x\) steht oben im Exponenten, die Basis ist fest: \(2^{x}\), \(10^{x}\).
  • Vergleich:bei \(x=2\) liefern \(x^{2}\) und \(2^{x}\) beide den Wert \(4\).
Wo steht die Variable?
PotenzfunktionxnVariablefestBeispiel: f(x) = x³ — der Exponent 3 ändert sich nieExponentialfunktionaxfestVariableBeispiel: f(x) = 3ˣ — erst Thema in Kapitel 3Wo steht die Variable — unten oder oben?

Bei der Potenzfunktion ist die Basis variabel, bei der Exponentialfunktion der Exponent.

Verschiebe den Regler und vergleiche die Funktionswerte von \(x^{2}\) und \(2^{x}\) an derselben Stelle. Links die Potenzfunktion \(x^{2}\), rechts die Exponentialfunktion \(2^{x}\) — mit demselben eingestellten \(x\).

Basis oder Exponent?

f(x) = x² — Potenzfunktionxy-1123481201g(x) = 2ˣ — Exponentialfunktionxy-1123481201gleicher x-Wert in beiden Systemen

Halte fest: Bei \(x=2\) und \(x=4\) sind beide Werte gleich; für große \(x\) überholt \(2^{x}\) die Potenz \(x^{2}\) endgültig.

Merke

Potenz oder Exponential: \(x\) unten \(\Rightarrow\) Potenzfunktion (\(x^{2}\)), \(x\) oben \(\Rightarrow\) Exponentialfunktion (\(2^{x}\)).

Verlauf: Für große \(x\) wächst \(2^{x}\) schneller als \(x^{2}\).

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Die ersten Vertreter

Die Graphen von \(x\), \(x^{2}\), \(x^{3}\) und \(x^{4}\) zeigen schon alle wichtigen Muster.

Die Graphen von \(x\), \(x^{2}\), \(x^{3}\) und \(x^{4}\)
xy-1,5-1-0,50,511,5-2-1120f₁(x) = xf₂(x) = x²f₃(x) = x³f₄(x) = x⁴P(1|1)O(0|0)Die vier ersten Vertreter im gemeinsamen Koordinatensystem

Alle vier Kurven laufen durch den Ursprung \(O(0\,|\,0)\) und durch den Punkt \(P(1\,|\,1)\). Für \(x\) zwischen \(-1\) und \(1\) liegen die Graphen mit großem Exponenten näher an der \(x\)-Achse, außerhalb steigen sie deutlich schneller.

  • Gerader Exponent:\((-2)^{4}=16\): alle Funktionswerte \(\ge 0\), der Graph liegt nie unter der \(x\)-Achse.
  • Ungerader Exponent:\((-2)^{3}=-8\): der Funktionswert behält das Vorzeichen von \(x\).
  • Gemeinsame Punkte:wegen \(0^{n}=0\) und \(1^{n}=1\) gehen alle Graphen durch \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\).
  • Steilheit:zwischen \(-1\) und \(1\) wird der Graph mit wachsendem \(n\) flacher, außerhalb steiler.
  • Skizze:Stellen um \(0\) wählen, Wertetabelle anlegen, Punkte glatt verbinden.

Stelle den Exponenten \(n\) ein und beobachte Kurve und Wertetabelle gleichzeitig. Der Exponent \(n\) läuft von 1 bis 6. Zum Vergleich bleibt \(x^{2}\) grau gestrichelt im Hintergrund stehen.

Potenz-Explorer

xy-2-112-4-2240f(x) = x²P(1|1)
Wertetabelle, die mitläuft
x−2−1−0,500,512
f(x)410,2500,2514

Halte fest: \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) bleiben bei jedem \(n\) auf der Kurve, z. B. \(0{,}5^{2}=0{,}25\) aber \(0{,}5^{6}\approx0{,}016\).

Drei Schritte zur Skizze von \(f(x)=x^{3}\)
Vom Term zum Graphen — in drei Schritten1Wertetabelle anlegenxf(x)-1,5-3,375-1-1-0,5-0,125000,50,125111,53,375f(-1,5) = (-1,5)³ = -3,375f(-1) = (-1)³ = -1f(-0,5) = (-0,5)³ = -0,125f(−1,5) = (−1,5)³ = −3,375f(−0,5) = (−0,5)³ = −0,125f(1,5) = 1,5³ = 3,3752Punkte eintragenxy-11-3303Punkte verbindenxy-11-330

Von der Stellenauswahl über die Wertetabelle bis zur fertigen Kurve. Bei ungeradem Exponenten genügt es, die rechte Hälfte zu berechnen: die linke entsteht daraus durch Punktspiegelung am Ursprung.

Merke

Kontrollpunkte: Jeder Graph von \(x^{n}\) enthält \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\).

Gerades \(n\): alle Funktionswerte \(\ge0\). Ungerades \(n\): der Funktionswert hat das Vorzeichen von \(x\).

Steilheit: Zwischen \(-1\) und \(1\) wird der Graph mit wachsendem \(n\) flacher, außerhalb steiler.

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Allgemeine Hinweise

x unten oder oben

Bei \(x^{2}\) ist die Basis variabel, bei \(2^{x}\) der Exponent. Nur das Erste ist eine Potenzfunktion.

Klammer setzen

Negative Zahlen setzt du immer in Klammern ein: \((-2)^{4}=16\). Ohne Klammer wäre \(-2^{4}=-16\).

Skizze prüfen

Deine Kurve muss durch \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) laufen. Keine Ecken, keine Sprünge.

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