Funktion f(x)=a·log₂(x+b)+c: Übungen – Mathe Klasse 11

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben zum Parameter-Labor. Es geht um die Wirkung von \(a\), \(b\) und \(c\), um Funktionswerte und Nullstellen, um den Definitionsbereich und immer wieder um die Frage, wohin die senkrechte Asymptote wandert. Mehrere Aufgaben verlangen den Weg rückwärts: vom Graphen zur Funktionsgleichung.

1Die Zielkurve einstellenAFB II

Die gestrichelte Kurve gehört zu einer Funktion \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\). Ihre senkrechte Asymptote ist grün gestrichelt eingezeichnet; sie verläuft durch \((-2\,|\,-1)\) und \((-1\,|\,1)\).

Stellen Sie \(a\), \(b\) und \(c\) so ein, dass beide Kurven übereinanderliegen.

Die Regler lassen sich mit der Maus ziehen oder nach Tab mit den Pfeiltasten verstellen. Geh der Reihe nach vor: erst \(b\) (die Asymptote), dann \(c\), dann \(a\).

Zahl \(a\)1Zahl \(b\)0Zahl \(c\)0

Die Asymptote liegt bei \(x=-3\), also \(-b=-3\) und \(b=3\). Der Punkt \((-2\,|\,-1)\) liefert \(a\cdot\log_{2}(1)+c=c=-1\). Aus \((-1\,|\,1)\) folgt \(a\cdot\log_{2}(2)-1=1\), also \(a=2\). Die Funktion lautet \(f(x)=2\cdot\log_{2}(x+3)-1\).

2Wo liegt die senkrechte Asymptote?AFB I

Die Asymptote liegt dort, wo das Argument des Logarithmus null wird.

Bestimmen Sie für jede Funktion die Stelle \(x\).

Trage jeweils nur die Zahl ein. Enter prüft.

Funktion	\(\log_{2}(x+5)\)	\(\log_{2}(x-2)+3\)	\(4\cdot\log_{2}(x+1)-2\)	\(-\log_{2}(x-0{,}5)\)
Asymptote \(x=\)

Setze das Argument gleich null: \(x+5=0\Rightarrow x=-5\); \(x-2=0\Rightarrow x=2\); \(x+1=0\Rightarrow x=-1\); \(x-0{,}5=0\Rightarrow x=0{,}5\). Die Zahlen vor und hinter dem Logarithmus (\(4\), \(-2\), \(3\), das Minuszeichen) spielen dabei überhaupt keine Rolle.

3Einen Funktionswert berechnenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=3\cdot\log_{2}(x+1)-4\).

Berechnen Sie \(f(7)\).

Rechne von innen nach außen: erst die Klammer, dann den Logarithmus, dann Mal und Minus. Enter prüft.

\(f(7)=3\cdot\log_{2}(7+1)-4=3\cdot\log_{2}(8)-4=3\cdot 3-4=5\). Wer zuerst \(3\cdot 7\) rechnet, verletzt die Reihenfolge: Der Faktor \(a\) gehört vor den fertigen Logarithmus, nicht in die Klammer.