Die drei Parameter
Du untersuchst \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\). Die Basis bleibt \(2\), verändert wird immer nur ein Parameter.
- Ausgangslage:\(a=1\), \(b=0\), \(c=0\) ergibt die Grundfunktion \(\log_{2}(x)\).
- \(a\):steht als Faktor vor dem Logarithmus.
- \(b\):steht in der Klammer, direkt beim \(x\).
- \(c\):wird ganz am Ende addiert.
- Worauf achten:Form der Kurve, senkrechte Asymptote und Nullstelle.
Verändere zuerst nur \(a\), dann nur \(b\), dann nur \(c\) und vergleiche die violette Kurve mit der grauen Kurve \(\log_{2}(x)\). „Zurücksetzen“ bringt dich zur Ausgangslage.
a = 1, b = 0, c = 0: Die Kurve stimmt genau mit der Grundfunktion log₂(x) überein. Ihre senkrechte Asymptote ist die y-Achse.
Halte fest: Die grüne Asymptote bewegt sich nur mit \(b\). Ein negatives \(a\) lässt die Kurve fallen statt steigen.
Funktion: \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\); mit \(a=1\), \(b=0\), \(c=0\) entsteht \(\log_{2}(x)\).
Parameter: \(a\) ist der Faktor vor dem Logarithmus, \(b\) steht in der Klammer beim \(x\), \(c\) wird am Ende addiert.
Wirkung: Die senkrechte Asymptote bewegt sich nur mit \(b\). Ein negatives \(a\) lässt die Kurve fallen statt steigen.
Der Einfluss der drei Parameter
Jeder Parameter verändert den Graphen auf seine eigene Art.
| Parameter | Einfluss auf \(f(x)\) |
|---|---|
| \(a\) | Streckung in \(y\)-Richtung. Für \(|a|>1\) wird der Graph gestreckt, für \(0<|a|<1\) gestaucht. Ist \(a<0\), wird er zusätzlich an der Waagerechten gespiegelt und fällt statt zu steigen. Die Nullstelle und die senkrechte Asymptote bleiben liegen. |
| \(b\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung. Für \(b>0\) wandert der Graph um \(b\) nach links, für \(b<0\) um \(|b|\) nach rechts. Dabei wandert die senkrechte Asymptote mit: Sie liegt nicht mehr bei \(x=0\), sondern bei \(x=-b\). Auch der Definitionsbereich verschiebt sich, denn es muss \(x+b>0\) gelten. |
| \(c\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c\) nach oben (bei \(c<0\) nach unten). Die Form bleibt unverändert und die senkrechte Asymptote bleibt an ihrem Platz — nur die Nullstelle wandert. |
Asymptote: \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\) hat die senkrechte Asymptote \(x=-b\) und ist für \(x>-b\) definiert.
Parameter \(a\): Streckung in \(y\)-Richtung (\(|a|>1\) gestreckt, \(0<|a|<1\) gestaucht); bei \(a<0\) Spiegelung, die Kurve fällt. Nullstelle und Asymptote bleiben.
Parameter \(b\) und \(c\): \(b>0\) verschiebt um \(b\) nach links, \(b<0\) um \(|b|\) nach rechts, die Asymptote wandert mit; \(c\) verschiebt in \(y\)-Richtung.
Zusatz: \(\log_{2}(x)\) und \(\log_{3}(x)\) im Vergleich
Mit \(a=1\), \(b=0\) und \(c=0\) steckt der Unterschied allein in der Basis.
- Gemeinsam:beide sind nur für \(x>0\) definiert, steigen streng monoton, gehen durch \((1\,|\,0)\) und haben die \(y\)-Achse als Asymptote.
- Rechts:für \(x>1\) liegt \(\log_{3}(x)\) unterhalb, z. B. \(\log_{3}(9)=2\) gegenüber \(\log_{2}(9)\approx 3{,}17\).
- Links:für \(0<x<1\) liegt \(\log_{3}(x)\) oberhalb, denn \(\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)=-2>-3{,}17\approx\log_{2}\left(\frac{1}{9}\right)\).
Gemeinsam: \(\log_{2}(x)\) und \(\log_{3}(x)\) sind nur für \(x>0\) definiert, steigen streng monoton, gehen durch \((1\,|\,0)\) und haben die \(y\)-Achse als Asymptote.
Unterschied: Für \(x>1\) liegt \(\log_{3}(x)\) unterhalb, für \(0<x<1\) oberhalb von \(\log_{2}(x)\); die größere Basis verläuft flacher.
Allgemeine Hinweise
Vorzeichen bei \(b\)
\(\log_{2}(x+3)\) ist um \(3\) nach links verschoben. Die Asymptote liegt dann bei \(x=-3\).
Definitionsbereich
Das Argument muss positiv sein: \(x+b>0\). Links der Asymptote gibt es keine Funktionswerte.
Schnell skizzieren
Zeichne zuerst die Asymptote \(x=-b\) ein. Für \(x=1-b\) gilt \(f(x)=c\), für \(x=2-b\) gilt \(f(x)=a+c\).