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Funktion f(x)=a·nˣ⁺ᵇ+c

Aus der Grundfunktion n hoch x wird durch drei Parameter eine ganze Kurvenschar: a streckt sie, b verschiebt sie waagerecht und c hebt sie samt Asymptote an.

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Die drei Parameter

Du untersuchst \(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\). Die Basis \(n\) bleibt fest, verändert wird immer nur ein Parameter.

  • \(a\):steht als Faktor vor der Potenz.
  • \(b\):steht im Exponenten, direkt beim \(x\).
  • \(c\):wird ganz am Ende addiert.
  • Vergleich:die Grundfunktion \(n^{x}\) bleibt als graue Kurve stehen.

Verändere zuerst nur \(a\), dann nur \(b\), dann nur \(c\) und vergleiche die violette Kurve mit der grauen Kurve \(2^{x}\). „Zurücksetzen“ bringt dich zur Ausgangslage.

Parameter-Labor

xy−4−3−2−11234−4−3−2−112345678grau: 2x

a = 1, b = 0, c = 0: Die Kurve stimmt genau mit der Grundfunktion 2^x überein. Ihre Asymptote ist die x-Achse.

Halte fest: Die grüne Asymptote bewegt sich nur mit \(c\). Ein negatives \(a\) klappt die Kurve an der Asymptote nach unten.

Merke

Funktion: \(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\) mit fester Basis \(n\).

Parameter: \(a\) ist der Faktor vor der Potenz, \(b\) steht im Exponenten beim \(x\), \(c\) wird am Ende addiert.

Wirkung: Die Asymptote bewegt sich nur mit \(c\). Ein negatives \(a\) klappt die Kurve an der Asymptote nach unten.

Der Einfluss der drei Parameter

Jeder Parameter verändert den Graphen auf seine eigene Art.

Einfluss der Parameter auf \(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\)
ParameterEinfluss auf \(f(x)\)
\(a\)Streckung in \(y\)-Richtung. Für \(|a|>1\) wird der Graph gestreckt, für \(0<|a|<1\) gestaucht. Ist \(a<0\), wird der Graph zusätzlich an der Asymptote gespiegelt und fällt statt zu steigen. Der Punkt \((0\,|\,1)\) wandert auf \((0\,|\,a)\). Die Asymptote bleibt liegen.
\(b\)Verschiebung in \(x\)-Richtung. Für \(b>0\) wandert der Graph um \(b\) nach links, für \(b<0\) um \(|b|\) nach rechts. Die Form bleibt unverändert, die Asymptote ebenfalls.
\(c\)Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c\) nach oben (bei \(c<0\) nach unten). Dabei wandert auch die waagerechte Asymptote mit: Sie liegt nicht mehr bei \(y=0\), sondern bei \(y=c\).
Jeder Parameter für sich
a = 2gestrecktb = 1nach linksc = −2nach unten
Grau gestrichelt: immer die Ausgangskurve \(2^{x}\). Verändert wird jeweils nur ein einziger Parameter.
Merke

Asymptote: \(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\) hat die waagerechte Asymptote \(y=c\).

Parameter \(a\): Streckung in \(y\)-Richtung (\(|a|>1\) gestreckt, \(0<|a|<1\) gestaucht); bei \(a<0\) Spiegelung an der Asymptote. Der Punkt \((0\,|\,1)\) wandert auf \((0\,|\,a)\).

Parameter \(b\) und \(c\): \(b>0\) verschiebt um \(b\) nach links, \(b<0\) um \(|b|\) nach rechts; \(c\) verschiebt in \(y\)-Richtung, die Asymptote wandert mit.

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Zusatz: \(2^{x}\) und \(3^{x}\) im Vergleich

Mit \(a=1\), \(b=0\) und \(c=0\) steckt der Unterschied allein in der Basis.

Beide Graphen in einem Koordinatensystem
xy−3−2−112123456789f(x) = 2xf(x) = 3x(0 | 1)
Gemeinsamer Punkt: \((0\,|\,1)\). Bei \(x=1\) trennen sie sich: \(2^{1}=2\) und \(3^{1}=3\).
  • Gemeinsam:beide gehen durch \((0\,|\,1)\), steigen streng monoton und haben die \(x\)-Achse als Asymptote.
  • Rechts:für \(x>0\) liegt \(3^{x}\) oberhalb, z. B. \(3^{2}=9\) gegenüber \(2^{2}=4\).
  • Links:für \(x<0\) liegt \(3^{x}\) näher an der \(x\)-Achse, denn \(3^{-2}=\frac{1}{9}<\frac{1}{4}=2^{-2}\).
Merke

Gemeinsam: \(2^{x}\) und \(3^{x}\) gehen durch \((0\,|\,1)\), steigen streng monoton und haben die \(x\)-Achse als Asymptote.

Unterschied: Die Basis bestimmt die Steilheit: Für \(x>0\) liegt \(3^{x}\) oberhalb, für \(x<0\) näher an der \(x\)-Achse.

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Allgemeine Hinweise

Vorzeichen bei \(b\)

\(2^{x+3}\) ist um \(3\) nach links verschoben. Plus im Exponenten heißt links.

\(a\) verschiebt nicht

Der Vorfaktor streckt nur in \(y\)-Richtung. Die Asymptote \(y=c\) bleibt dabei liegen.

Schnell skizzieren

Zeichne zuerst die Asymptote \(y=c\) ein. Für \(x=-b\) gilt dann \(f(x)=a+c\).

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