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Ableiten ohne GTR

Zwölf Zeilen, eine Tafel: Sie beantwortet die Frage, wie man jede Ableitung dieses Halbjahres ohne Rechner berechnet.

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Die Leitfrage: ableiten ohne GTR

Mit Potenz-, Faktor- und Summenregel leitest du jeden Term dieses Halbjahres von Hand ab. Die Antwort auf die Leitfrage steht in einer zweispaltigen Tafel.

Der Aufbau der Tafel
Wie berechnet man die Ableitung ohne GTR? Funktionsgleichung f(x) Ableitungsfunktion f′(x) f(x) = x² f′(x) = f(x) = x³ f′(x) = f(x) = xⁿ f′(x) = f(x) = x f′(x) = Die Breite des roten Feldes verrät, wie lang das Ergebnis ist.
Der senkrechte Strich trennt die beiden Spalten, der waagerechte Strich die Kopfzeile vom Tabellenkörper. Rechts stehen die roten Abdeckfelder — im nächsten Abschnitt kannst du sie selbst wegklicken.
  • Linke Spalte:die Funktionsgleichung \(f(x)\).
  • Rechte Spalte:die Ableitungsfunktion \(f'(x)\), zunächst rot abgedeckt.
  • Teil 1:die Potenzregel in ihren wichtigsten Fällen.
  • Teil 2:Brüche und Wurzeln erst in Potenzen umschreiben.
  • Teil 3:Summen-, Differenz- und Faktorregel zusammen.
Merke

Leitfrage: Ohne GTR leitest du mit der Potenzregel und den Summen-, Differenz- und Faktorregeln ab.

Umschreiben: Brüche und Wurzeln werden erst in Potenzen umgeschrieben, dann abgeleitet.

Die Tafel aufdecken

Sag dir jede Ableitung erst selbst vor und deck danach das rote Feld auf.

  • Zeilen 1–4:reine Potenzregel, auch \(f(x)=x\) mit \(f'(x)=1\cdot x^{0}=1\).
  • Zeilen 5–7:\(\dfrac{1}{x}=x^{-1}\), \(\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}\), \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) — erst umschreiben.
  • Zeile 8:die konstante Funktion \(f(x)=b\) hat \(f'(x)=0\).
  • Zeilen 9–12:Summen- und Faktorregel im Zusammenspiel.

Klick auf ein rotes Feld, um es auf- oder zuzudecken. Mit Tab springst du von Feld zu Feld. Zwölf Zeilen, 22 verdeckte Felder. Verdecke am Ende alles wieder und geh die Tafel ein zweites Mal durch — erst dann sitzt sie.

Die Formeltafel selbst aufdecken

Teil 1 — die Potenzregel
Funktionsgleichung \(f(x)\)Ableitungsfunktion \(f'(x)\)
\(f(x)=x^{2}\)
\(f'(x)\)=
\(f(x)=x^{3}\)
\(f'(x)\)=
\(f(x)=x^{n}\)
\(f'(x)\)=
\(f(x)=x\)
\(f'(x)\)=
Teil 2 — erst umschreiben, dann ableiten
Funktionsgleichung \(f(x)\)Ableitungsfunktion \(f'(x)\)
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)=
\(f'(x)\)===
\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\)=
\(f'(x)\)==
\(f(x)=\sqrt{x}\)=
\(f'(x)\)===
\(f(x)=b\)
\(f'(x)\)=
Teil 3 — Summen-, Differenz- und Faktorregel
Funktionsgleichung \(f(x)\)Ableitungsfunktion \(f'(x)\)
\(f(x)=x^{4}+x^{5}\)
\(f'(x)\)=
\(f(x)=2 \cdot x^{2}\)
\(f'(x)\)==
\(f(x)=5x^{3}\)
\(f'(x)\)==
\(f(x)=4x^{2}-7x+5\)
\(f'(x)\)=

Noch ist alles verdeckt. Fang mit der ersten Zeile an. Aufgedeckte Felder: 0. Noch verdeckt: 22. Zeilen insgesamt: 12.

Halte fest: In den Zeilen 5 bis 7 passieren die meisten Fehler, weil erst umgeschrieben und dann abgeleitet wird.

Merke

Grundfälle: \(f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1\) und eine konstante Funktion \(f(x)=b\) hat \(f'(x)=0\).

Umschreiben: Erst umschreiben, dann ableiten:

\(\dfrac{1}{x}=x^{-1},\quad\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2},\quad\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

Die letzte Zeile im Bild

Die letzte Zeile \(f(x)=4x^{2}-7x+5\) besteht aus drei Summanden. Jeder ist ein bekannter Fall.

  • \(4x^{2}\):\(4\cdot 2x=8x\) — der Faktor bleibt stehen.
  • \(-7x\):wird zu \(-7\).
  • \(+5\):der konstante Summand wird zu \(0\).
  • Ergebnis:\(f'(x)=8x-7\) — aus der Parabel wird eine Gerade.

Links wandert die Tangente über die Parabel, rechts liest du ihre Steigung auf der Geraden \(f'(x)=8x-7\) ab. Zieh den schwarzen Punkt über die Parabel oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten verschiebst du \(x_0\) in kleinen Schritten, die Eingabetaste springt zum Scheitelpunkt.

Die letzte Zeile im Bild

x y 1 2 2 4 6 8 x y 1 2 −8 −4 4 8 12 f(x) = 4x² − 7x + 5 f′(x) = 8x − 7 Der Scheitel liegt dort, wo die Ableitung null ist.

An der Stelle 1,5 steigt die Parabel mit der Steigung 5. Funktionswert f(x0): 3,5. Steigung f′(x0) = 8x0 − 7: 5. Punkt auf dem Graphen von f′: (1,5 | 5).

Halte fest: Bei \(x=\tfrac{7}{8}\) ist die Steigung null — dort liegt der Scheitel.

Merke

Summanden: Bei einer quadratischen Funktion bleibt der Faktor beim Potenzterm stehen, der lineare Term wird zur Zahl, der konstante Summand wird \(0\).

Ergebnis: Die Ableitung einer Parabel ist eine Gerade; ihre Nullstelle gehört zum Scheitel, dort ist die Steigung null.

2

Die Ableitung an einer Stelle

Mit \(f'(x)\) beantwortest du zwei Fragen: vorwärts die Steigung an einer Stelle, rückwärts die Stelle zu einer Steigung.

  • Ableitung:\(f(x)=x^{2} \Rightarrow f'(x)=2x\).
  • Vorwärts:Stelle einsetzen: \(f'(5)=2\cdot 5=10\).
  • Rückwärts:Gleichung lösen: \(2x=3\), also \(x=1{,}5\).
  • GTR:liefert nur eine Zahl an einer festen Stelle, nie den Term \(f'(x)\).
Merke

Zwei Fragen: \(f'(x_0)\) einsetzen liefert die Steigung an der Stelle, \(f'(x)=m\) lösen liefert die Stelle zur Steigung.

GTR: Er liefert nur eine Zahl an einer festen Stelle, nie den Term \(f'(x)\).

Lies im rechten Bild beide Richtungen ab. Die orangen Linien markieren die Steigungen \(3\) und \(-3\). Zieh den schwarzen Punkt über die Parabel oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten verschiebst du \(x_0\); die Eingabetaste spiegelt die Stelle an der \(y\)-Achse.

Steigung ablesen, Stelle suchen

x y −2 −1 1 2 2 4 6 x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 Steigung 3 Steigung −3 f(x) = x² f′(x) = 2x

Bei x₀ = 1,5 beträgt die Steigung genau 3. Funktionswert f(x0): 2,25. Steigung f′(x0) = 2x0: 3. Punkt auf dem Graphen von f′: (1,5 | 3).

Halte fest: Weil \(2x\) linear ist, gehört zu jeder Steigung genau eine Stelle — zu \(-3\) etwa \(x=-1{,}5\).

Die Regeln am Stück

Alle zwölf Zeilen der Tafel entstehen aus drei Regeln.

  • Potenzregel:\(f(x)=x^{n} \Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}\).
  • Faktorregel:\(f(x)=k\cdot u(x) \Rightarrow f'(x)=k\cdot u'(x)\).
  • Summenregel:\(f(x)=u(x)\pm v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)\pm v'(x)\).
  • Wurzel:\(f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
  • Kehrwert:\(f(x)=\dfrac{1}{x} \Rightarrow f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\).
Merke

Potenzregel: \(f(x)=x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=n\cdot x^{n-1}\).

Faktor- und Summenregel: \(f(x)=k\cdot u(x)\Rightarrow f'(x)=k\cdot u'(x)\) und \(f(x)=u(x)\pm v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)\pm v'(x)\).

Wurzel und Kehrwert: Für die beiden Sonderfälle gilt

\(\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\quad\text{und}\quad\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}\)

3

Allgemeine Hinweise

Erst umschreiben

Brüche und Wurzeln schreibst du zuerst als Potenz. Zähler und Nenner getrennt abzuleiten ist falsch.

Zwei verschiedene Fragen

\(f'(5)\) ist eine Zahl, \(f'(x)=3\) eine Gleichung für \(x\). Im ersten Fall setzt du ein, im zweiten formst du um.

Zeile für Zeile

Deck die Tafel erst auf, wenn du die Antwort laut gesagt hast. So merkst du sofort, wo du noch unsicher bist.

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