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Geraden und Steigung

Bevor wir krumme Graphen untersuchen, holen wir das Werkzeug zurück, das bei Geraden schon funktioniert: die Steigung als Verhältnis von \(\Delta y\) zu \(\Delta x\).

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Die lineare Funktion und ihre Steigung

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Sie hat überall dieselbe Steigung – diesen Begriff überträgst du später auf krumme Graphen.

  • Funktionsterm:\(f(x)=m\cdot x+n\).
  • \(n\):\(y\)-Achsenabschnitt, also \(n=f(0)\).
  • \(m\):Steigung – ein Schritt nach rechts bedeutet \(m\) Einheiten nach oben.
  • \(\Delta\):steht für eine Differenz, also „nachher minus vorher“.
  • Steigungsdreieck:\(\Delta x\) nach rechts, \(\Delta y\) nach oben oder unten; Größe und Lage sind egal, der Quotient bleibt gleich.
Zwei Steigungsdreiecke an derselben Geraden
x y f Δx = 1 Δy = 0,5 Δx = 2 Δy = 1
Rot: \(m=\tfrac{0{,}5}{1}=0{,}5\). Grün: \(m=\tfrac{1}{2}=0{,}5\). Gleiche Gerade, gleiche Steigung — unabhängig davon, wie groß man das Dreieck zeichnet.
Merke

Lineare Funktion: \(f(x)=m\cdot x+n\) mit Steigung \(m\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(n=f(0)\).

Steigung: Ein Schritt nach rechts bedeutet \(m\) Einheiten nach oben.

\(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)

Steigungsdreieck: \(\Delta\) bedeutet „nachher minus vorher“; Größe und Lage des Dreiecks sind egal, der Quotient bleibt gleich.

Stelle \(m\) und \(n\) ein und beobachte die Gerade und das Steigungsdreieck. Stelle Steigung m und Achsenabschnitt n ein. Das rote Steigungsdreieck gehört immer zu einem Schritt von \(\Delta x = 1\) nach rechts.

Geraden-Baukasten

x y Δx = 1 Δy n

Die Gerade steigt: Bei einem Schritt nach rechts geht es 0,5 Einheiten nach oben. Funktionsgleichung: f(x) = 0,5x + 1. Δy bei Δx = 1: 0,5. y-Achsenabschnitt: n = f(0) = 1.

Halte fest: \(n\) verschiebt die Gerade nur nach oben oder unten. Bei \(\Delta x=1\) ist die Höhe des Steigungsdreiecks genau \(m\).

Das Vorzeichen der Änderungsrate

Bei krummen Graphen ändert sich die Steigung ständig. Ihr Vorzeichen kannst du aber direkt am Verlauf ablesen.

  • Steigend:von links unten nach rechts oben, \(\Delta y>0\), also \(m>0\).
  • Fallend:von links oben nach rechts unten, \(\Delta y<0\), also \(m<0\).
  • Waagerecht:\(\Delta y=0\), also \(m=0\) – so an Hoch- und Tiefpunkten.
  • Steilheit:je steiler, desto größer der Betrag \(|m|\).
  • Lage egal:Es zählt die Richtung, nicht ob der Graph über oder unter der \(x\)-Achse liegt.
Fallender und steigender Abschnitt eines Graphen
x y fällt → m < 0 steigt → m > 0
Links fällt der Graph — jedes Steigungsdreieck dort hat ein negatives \(\Delta y\), also \(m<0\). Rechts steigt er — dort ist \(\Delta y>0\) und damit \(m>0\).

Wähle einen Abschnitt per Klick oder mit Tab und Enter und entscheide: positiv oder negativ? Vier Abschnitte, zwei mögliche Antworten. Ein Abschnitt gilt erst als gelöst, wenn du ihn richtig zugeordnet hast.

Vorzeichen-Detektiv

x y 1 2 3 4

Wähle einen der vier Abschnitte aus. Gewählter Abschnitt: —. Richtig zugeordnet: 0 von 4.

Halte fest: An den Scheitelstellen schaltet der Graph von Fallen auf Steigen um – dort ist die Änderungsrate null.

Merke

Vorzeichen: steigend \(\Rightarrow m>0\), fallend \(\Rightarrow m<0\), waagerecht \(\Rightarrow m=0\) (an Hoch- und Tiefpunkten).

Steilheit: Je steiler der Graph, desto größer \(|m|\).

Lage: Es zählt die Richtung, nicht ob der Graph über oder unter der \(x\)-Achse liegt.

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Dieselbe Steigung, drei Bedeutungen

In Anwendungen hat die Steigung eine Einheit. Sie hängt nur davon ab, was auf den Achsen steht.

Eine Gerade, drei Bedeutungen
t in s s in m Δx = 5 Δy = 4 Weg über Zeit m = 0,8 m/s Geschwindigkeit t in s v in m/s Δx = 5 Δy = 4 Geschwindigkeit über Zeit m = 0,8 m/s² Beschleunigung t in s v in km/h Δx = 5 Δy = 4 Geschwindigkeit über Zeit m ≈ 0,22 m/s² Beschleunigung
Die Zahl 0,8 steht in allen drei Fällen für dasselbe Steigungsdreieck — erst die Einheiten der Achsen machen daraus eine Geschwindigkeit oder eine Beschleunigung.
  • Weg über Zeit:\(m=\frac{4\,\mathrm m}{5\,\mathrm s}=0{,}8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\) ist eine Geschwindigkeit.
  • Geschwindigkeit über Zeit:\(m=\frac{4\,\mathrm{m/s}}{5\,\mathrm s}=0{,}8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\) ist eine Beschleunigung.
  • km/h über s:erst umrechnen: \(4\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\approx1{,}11\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\), dann \(m\approx0{,}22\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\).
  • Weitere Einheiten:°C/h, €/kg, l/100 km.
Merke

Einheit der Änderungsrate: \([m]=\dfrac{[y]}{[x]}\).

Bedeutung: Die Steigung hat die Einheit „Achse \(y\) durch Achse \(x\)“: Weg über Zeit ist eine Geschwindigkeit, Geschwindigkeit über Zeit eine Beschleunigung.

Rechnen: Einheiten vorher angleichen, z. B. km/h in m/s.

Steigung aus zwei Punkten

Oft sind nur zwei Punkte gegeben, etwa aus einer Wertetabelle. Daraus berechnest du die Steigung direkt.

  • Gegeben:\(P(x_1\,|\,y_1)\) und \(Q(x_2\,|\,y_2)\) mit \(x_1\neq x_2\).
  • Differenzen:\(\Delta x=x_2-x_1\) und \(\Delta y=y_2-y_1\).
  • Reihenfolge:oben und unten dieselbe Richtung; beide vertauscht ergibt dasselbe \(m\).
  • Beispiel:\(P(1\,|\,2)\), \(Q(5\,|\,8)\): \(m=\frac{8-2}{5-1}=\frac{6}{4}=1{,}5\).
  • Sekante:Gerade durch zwei Punkte eines Graphen – Thema des nächsten Kapitels.
  • Ausnahme:Bei \(x_1=x_2\) ist die Gerade senkrecht und hat keine Steigung.
Merke

Zwei-Punkte-Formel: Aus \(P(x_1\,|\,y_1)\) und \(Q(x_2\,|\,y_2)\) mit \(x_1\neq x_2\) folgt

\(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

Reihenfolge: Oben und unten muss dieselbe Richtung stehen.

Ausnahme: Bei \(x_1=x_2\) ist die Gerade senkrecht und hat keine Steigung. Eine Gerade durch zwei Punkte eines Graphen heißt Sekante.

Ziehe beide Punkte mit der Maus oder wähle sie mit Tab und verschiebe sie mit den Pfeiltasten. Zwei Punkte, eine Gerade, ein Steigungsdreieck — alle Werte werden live mitgerechnet.

Punkte-Zieher

x y Δx Δy P Q

Die Gerade steigt, denn Δy ist positiv. Punkte: P(1|2), Q(6|5). Δx und Δy: Δx = 5; Δy = 3. Steigung m: 0,6.

Halte fest: Liegen beide Punkte übereinander, ist \(\Delta x=0\) – dann ist die Steigung nicht definiert.

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Allgemeine Hinweise

Δy durch Δx

Die Höhe kommt in den Zähler, die Breite in den Nenner. Vertauscht erhältst du den Kehrwert.

Erst Achsen prüfen

Passen die Einheiten nicht zusammen, rechne zuerst um. Sonst hat dein Ergebnis keine sinnvolle Einheit.

km/h und m/s

Von km/h nach m/s teilst du durch 3,6. Umgekehrt multiplizierst du mit 3,6.

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