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Summen- und Faktorregel

Drei Regeln machen aus jeder Summe von Potenzen eine Ableitung — jeder Summand wird einzeln abgeleitet, jeder konstante Faktor bleibt stehen.

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Ein konstanter Faktor bleibt erhalten

Terme wie \(-2x^{4}\) führst du mit drei Regeln auf die bekannten Grundableitungen zurück. Die erste betrifft einen Zahlenfaktor vor der Funktion.

  • Streckung:der Faktor \(k\) streckt den Graphen in \(y\)-Richtung — und mit ihm jede Steigung.
  • Faktorregel:der Faktor bleibt stehen, abgeleitet wird nur die Funktion dahinter.
  • Negatives \(k\):der Graph kippt nach unten, aus steigend wird fallend.
  • Beispiel:\(f(x)=-2x^{4} \Rightarrow f'(x)=(-2)\cdot 4x^{3}=-8x^{3}\).
Merke

Faktorregel: \(f(x)=k\cdot u(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=k\cdot u'(x)\).

Bedeutung: Der Faktor bleibt stehen, nur die Funktion dahinter wird abgeleitet. Der Faktor \(k\) streckt den Graphen und jede Steigung; bei negativem \(k\) wird aus steigend fallend.

Zieh am Regler für \(k\) und verschieb den schwarzen Punkt. Vergleiche die Steigungen von \(u\) und \(f\). Zieh am Regler für \(k\) und beobachte beide Bilder gleichzeitig. Den schwarzen Punkt kannst du mit der Maus verschieben; mit den Pfeiltasten wanderst du in kleinen Schritten, die Eingabetaste spiegelt die Stelle an der \(y\)-Achse.

Faktor k und Steigung

x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 u(x) = x² (grau gestrichelt) f(x) = 2 · x² u′(x) = 2x (grau gestrichelt) f′(x) = 2 · 2x = 4x

Bei k = 2 ist jede Steigung doppelt so groß wie bei u. Steigung von u in x0: 2. Steigung von f in x0: 4. Verhältnis der Steigungen: 2.

Halte fest: Das Verhältnis der beiden Steigungen ist an jeder Stelle genau \(k\).

Summanden einzeln ableiten

Fast jeder Funktionsterm ist eine Summe. Du leitest jeden Summanden für sich ab und addierst die Ergebnisse.

  • Summenregel:jeder Summand wird einzeln abgeleitet, die Rechenzeichen bleiben stehen.
  • Unabhängig:kein Summand beeinflusst einen anderen — die Reihenfolge ist egal.
  • Vorzeichen:bei negativen Exponenten wird die Ableitung negativ, z. B. \(x^{-5} \rightarrow -5x^{-6}\).
  • Beispiel:\(h(x)=4x^{3}+x^{2}+5x^{-2} \Rightarrow h'(x)=12x^{2}+2x-10x^{-3}\).
Merke

Summenregel: \(f(x)=u(x)+v(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=u'(x)+v'(x)\).

Vorgehen: Jeder Summand wird einzeln abgeleitet, die Rechenzeichen bleiben stehen. Kein Summand beeinflusst einen anderen.

Klick einen Summanden an. Er und seine Ableitung leuchten in derselben Farbe auf. Klick einen Summanden in der oberen Zeile an. Mit den Pfeiltasten nach links und rechts wechselst du zwischen den Summanden, mit den Pfeiltasten nach oben und unten zwischen den vier Beispielen; die Eingabetaste springt zum nächsten Summanden.

Jeden Summanden farblich verfolgen

Beispiel aus dem Unterricht — Summenregel f(x) = f′(x) = x⁴ 4x³ + − x⁻⁵ 5x⁻⁶ Beispiel aus dem Unterricht — Summenregel g(x) = g′(x) = √x 12√x + − 3x 3x² Beispiel aus dem Unterricht — Summen- und Faktorregel h(x) = h′(x) = 4x³ 12x² + + x² 2x + − 5x² 10x³ Beispiel aus dem Unterricht — Differenzregel f(x) = f′(x) = x² 2x − − 2x 2

Wähle einen Summanden aus, um seine Ableitung zu verfolgen. Ausgewählter Summand: x⁴. Seine Ableitung: 4x³. Verwendete Regel: Summenregel.

Halte fest: Die Ableitung entsteht Baustein für Baustein und wird am Ende zusammengeschrieben.

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Differenzregel und konstanter Summand

Eine Differenz ist eine Summe mit negativem Summanden. Eine addierte Zahl verschiebt den Graphen nur und ändert keine Steigung.

  • Differenzregel:\(f(x)=u(x)-v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)-v'(x)\).
  • Beispiel:\(f(x)=x^{2}-2x \Rightarrow f'(x)=2x-2\).
  • Konstante Funktion:\(f(x)=c\) hat eine waagerechte Gerade als Graph, also \(f'(x)=0\).
  • Verschiebung:\(g(x)=f(x)+c\) hat dieselbe Ableitung wie \(f\).
Der Graph einer konstanten Funktion
x y −3 −2 −1 1 2 3 −1 1 2 3 f(x) = 2 Tangente: waagerecht Die Steigung ist an jeder Stelle 0, also f′(x) = 0
Die konstante Funktion \(f\) mit \(f(x)=2\) hat als Graph eine waagerechte Gerade. Jede Tangente ist ebenfalls waagerecht, also gilt \(f'(x)=0\) für jedes \(x\).
Merke

Differenzregel: \(f(x)=u(x)-v(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=u'(x)-v'(x)\).

Konstanter Summand: Eine addierte Zahl verschiebt den Graphen nur: \(g(x)=f(x)+c\;\Rightarrow\;g'(x)=f'(x)\).

Konstante Funktion: \(f(x)=c\) hat eine waagerechte Gerade als Graph, also \(f'(x)=0\).

Verschieb die violette Kurve mit dem Regler für \(c\). Achte auf das rechte Bild. Der Regler für \(c\) verschiebt die violette Kurve. Der violette Punkt lässt sich mit der Maus ziehen; mit den Pfeiltasten verschiebst du die Stelle \(x_0\), die Eingabetaste setzt \(c\) wieder auf null.

Verschieben, gleiche Steigung

x y −2 −1 1 2 3 4 −2 2 4 x y −2 −1 1 2 3 4 −2 2 4 f(x) = x² − 2x g(x) = f(x) + 2 f′(x) = g′(x) = 2x − 2 ein einziger Graph für jedes c

Beide Tangenten sind parallel: Die Steigung beträgt in beiden Fällen 2. Steigung von f in x0: 2. Steigung von g in x0: 2. Höhenunterschied der Kurven: 2.

Halte fest: Die Tangenten bleiben parallel, der Ableitungsgraph bewegt sich nicht. Die Konstante ist in \(f'\) nicht mehr zu sehen.

Erst umformen, dann ableiten

Die Regeln brauchen reine Potenzen \(x^{n}\). Brüche und Wurzeln schreibst du deshalb vorher um.

  • Bruch:\(\dfrac{1}{x^{7}}=x^{-7}\) — der Exponent wechselt das Vorzeichen.
  • Bruch mit Faktor:\(\dfrac{7}{x^{2}}=7x^{-2}\) — die Zahl bleibt als Faktor stehen.
  • Zahl im Nenner:\(\dfrac{x^{4}-3x}{5}=\tfrac{1}{5}(x^{4}-3x)\) — nur ein konstanter Faktor.
  • Zahlenfaktoren:\(\sqrt{3}\) oder \(\sqrt[3]{17}\) sind feste Zahlen und bleiben stehen.
  • Beispiel:\(f(x)=2x^{4}-\dfrac{7}{x^{2}}+5x=2x^{4}-7x^{-2}+5x \Rightarrow f'(x)=8x^{3}+14x^{-3}+5\).
Merke

Vorgehen: zerlegen, in Potenzen umschreiben, summandenweise ableiten, zusammenfassen.

Umschreiben: Die Regeln brauchen reine Potenzen \(x^{n}\); bei Brüchen wechselt der Exponent das Vorzeichen.

\(\dfrac{k}{x^{n}}=k\cdot x^{-n}\)

Zahlen: Eine Zahl im Nenner oder eine Wurzel aus einer Zahl ist ein konstanter Faktor und bleibt stehen.

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Allgemeine Hinweise

Kein Bruch-Ableiten

Leite einen Bruch nie Zähler für Zähler und Nenner für Nenner ab. Schreib ihn vorher als Potenz mit negativem Exponenten.

Minus mal Minus

Aus \(-7x^{-2}\) wird \((-7)\cdot(-2)x^{-3}=+14x^{-3}\). Zwei Minuszeichen ergeben ein Plus.

Konstante fällt weg

Eine einzelne Zahl wie \(-7\) verschwindet beim Ableiten. Ein Faktor vor \(x\) bleibt dagegen stehen.

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