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Sinus und Kosinus ableiten

Waagerechte Tangenten an den Hoch- und Tiefpunkten verraten die Nullstellen der Ableitung — daraus entsteht ein Kreislauf, der nach vier Schritten wieder von vorn beginnt.

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Waagerechte Tangenten am Sinusgraphen

Du leitest den Sinus grafisch ab: Tangenten anlegen, Steigung ablesen, darunter eintragen. Die Hoch- und Tiefpunkte kennst du schon.

  • Waagerechte Tangente:an jedem Hoch- und Tiefpunkt ist die Steigung null.
  • Nullstellen von \(f'\):bei \(-\tfrac{3}{2}\pi\), \(-\tfrac{1}{2}\pi\), \(\tfrac{1}{2}\pi\), \(\tfrac{3}{2}\pi\) und \(\tfrac{5}{2}\pi\).
  • Steigend:zwischen \(-\tfrac{1}{2}\pi\) und \(\tfrac{1}{2}\pi\) ist die Ableitung positiv.
  • Fallend:zwischen \(\tfrac{1}{2}\pi\) und \(\tfrac{3}{2}\pi\) ist die Ableitung negativ.
  • Am steilsten:in den Nullstellen des Sinus — dort hat die Ableitung die Werte \(1\) oder \(-1\).
Vom Graphen von \(\sin(x)\) zum Graphen der Ableitung
x y −2π − 3 2 π −π − 1 2 π 1 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π −2 −1 1 2 x y −2π − 3 2 π −π − 1 2 π 1 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π −2 −1 1 2 y = sin(x) f′(x) = cos(x) Steigung 0 Nullstelle
Oben \(y=\sin(x)\) mit den roten waagerechten Tangentenstücken an allen Hoch- und Tiefpunkten. Die grün gestrichelten Hilfslinien führen diese Stellen nach unten — dort hat die Ableitung ihre Nullstellen. Die entstehende rote Kurve ist der Graph von \(\cos(x)\).

Schieb den Punkt über die Sinuskurve. Seine Tangentensteigung wird unten als roter Punkt eingetragen. Zieh den blauen Punkt mit der Maus über den Graphen oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten bewegst du ihn in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springst du zurück zum Ursprung.

Die Steigung wandert mit

x y −2π − 3 2 π −π − 1 2 π 1 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π −2 −1 1 2 x m −2π − 3 2 π −π − 1 2 π 1 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π −2 −1 1 2 f(x) = sin(x) Steigung m an der Stelle x

An der Stelle 0 steigt der Sinusgraph am stärksten: die Tangentensteigung beträgt 1. Stelle x: 0. Funktionswert sin(x): 0. Steigung m der Tangente: 1. Vergleichswert cos(x): 1.

Halte fest: Die rote Spur deckt sich Punkt für Punkt mit dem Graphen von \(\cos(x)\).

Merke

Waagerechte Tangente: An jedem Hoch- und Tiefpunkt ist die Steigung null, dort hat \(f'\) eine Nullstelle.

Vorzeichen: Steigt der Sinus, ist die Ableitung positiv; fällt er, ist sie negativ. Am steilsten (Steigung \(\pm1\)) ist er in seinen Nullstellen.

Ergebnis: Der Ableitungsgraph von \(\sin(x)\) stimmt mit dem Graphen von \(\cos(x)\) überein.

Der Satz: \(\sin'=\cos\)

Beim Kosinus führt derselbe Weg zum Ziel. Heraus kommt der an der \(x\)-Achse gespiegelte Sinus, also \(-\sin(x)\).

  • Kosinus:Hochpunkte bei \(0\) und \(2\pi\), Tiefpunkt bei \(\pi\) — dort ist die Ableitung null.
  • Zwischen \(0\) und \(\pi\):der Kosinus fällt, die Ableitung ist negativ.
  • Spiegeln:Spiegeln an der \(x\)-Achse bedeutet ein Minuszeichen vor dem Term.
  • Wertebereich:alle Werte der Ableitung liegen in \([-1\,;\,1]\).
  • Bogenmaß:der Satz gilt nur, wenn \(x\) im Bogenmaß steht.
Merke

Ableitungen: \(\sin'(x)=\cos(x)\) und \(\cos'(x)=-\sin(x)\).

Spiegelung: Spiegeln an der \(x\)-Achse bedeutet ein Minuszeichen vor dem Term.

Bedingung: Die Sätze gelten nur, wenn \(x\) im Bogenmaß steht. Die Ableitungswerte liegen in \([-1\,;\,1]\).

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Der Ableitungs-Kreislauf

Leitest du viermal hintereinander ab, stehst du wieder beim Sinus. Die vier Terme bilden einen Kreislauf.

Der Ableitungs-Kreislauf
1 2 3 4 sin(x) cos(x) −sin(x) −cos(x) ableiten im Uhrzeigersinn
Die roten Ziffern geben die Reihenfolge an: \(1\) führt von \(\sin(x)\) zu \(\cos(x)\), \(2\) von \(\cos(x)\) zu \(-\sin(x)\), \(3\) von \(-\sin(x)\) zu \(-\cos(x)\) und \(4\) wieder zurück zu \(\sin(x)\).
  • Schritt 1:\(\sin(x) \rightarrow \cos(x)\).
  • Schritt 2:\(\cos(x) \rightarrow -\sin(x)\).
  • Schritt 3:\(-\sin(x) \rightarrow -\cos(x)\) — der Faktor \(-1\) bleibt stehen.
  • Schritt 4:\(-\cos(x) \rightarrow \sin(x)\).
  • Beispiel:die 8. Ableitung von \(\sin(x)\) ist wieder \(\sin(x)\) — zwei volle Umläufe.

Geh den Kreislauf Schritt für Schritt ab. Links der Graph, rechts die aktuelle Station. Drück auf „Ableiten“ oder benutze die Pfeiltasten. Achte darauf, wie sich der Graph jedes Mal um eine Viertelperiode nach links verschiebt — und wie er nach vier Schritten wieder genauso aussieht wie am Anfang.

Viermal ableiten

x y 1 2 π π 3 2 π 2π −1 1 sin(x) sin(x) cos(x) −sin(x) −cos(x)

Start: betrachtet wird f(x) = sin(x). Ein Schritt weiter führt zu cos(x). Schritte: 0. Betrachtete Funktion: sin(x). Ihre Ableitung: cos(x).

Halte fest: Nach vier Schritten zeigt die Anzeige wieder \(\sin(x)\).

Merke

Kreislauf: Viermaliges Ableiten führt zurück zur Ausgangsfunktion.

\(\sin(x)\to\cos(x)\to-\sin(x)\to-\cos(x)\to\sin(x)\)

Faktor: Das Minuszeichen bleibt beim Ableiten stehen.

Werte und Terme ableiten

Einen Wert der Ableitung erhältst du durch Einsetzen in den Ableitungsterm. In Summen gelten Faktor- und Summenregel wie gewohnt.

  • Einsetzen:\(f(x)=\sin(x) \Rightarrow f'(0)=\cos(0)=1\).
  • Faktor:\(f(x)=3\sin(x) \Rightarrow f'(x)=3\cos(x)\).
  • Differenz:\(f(x)=x-\sin(x) \Rightarrow f'(x)=1-\cos(x)\).
  • Beide gemischt:\(f(x)=\sin(x)-\cos(x) \Rightarrow f'(x)=\cos(x)+\sin(x)\).
  • Konstante im Nenner:\(\dfrac{\sin(x)}{\pi}=\dfrac{1}{\pi}\sin(x) \Rightarrow f'(x)=\dfrac{\cos(x)}{\pi}\).

Schalte zwischen Sinus und Kosinus um und lies die Ableitungswerte an sieben Stellen ab. Wähle eine Stelle mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten. Mit der Eingabetaste wechselst du zwischen \(f(x)=\sin(x)\) und \(f(x)=\cos(x)\).

Werte der Ableitung

x y 1 2 π π 3 2 π 2π −1 1 Funktion f Ableitung f′

An der Stelle 0 gilt f′(0) = cos(0) = 1. Ausgangsfunktion: f(x) = sin(x). Ableitungsfunktion: f′(x) = cos(x). Wert der Ableitung: 1.

Halte fest: Kein Wert verlässt das Intervall \([-1\,;\,1]\).

Merke

Wert der Ableitung: Die Stelle wird in den Ableitungsterm eingesetzt.

Regeln: Faktor- und Summenregel gelten auch hier: Der Faktor bleibt stehen, Summanden werden einzeln abgeleitet.

Konstante im Nenner: Sie ist ein konstanter Faktor und bleibt stehen.

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Allgemeine Hinweise

Minus beim Kosinus

Die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\). Aus \(-\cos(x)\) wird deshalb \(+\sin(x)\).

Nur im Bogenmaß

Der Satz gilt nur für \(x\) im Bogenmaß. Stell den Taschenrechner auf RAD, bevor du Werte berechnest.

Kreislauf nutzen

Für die \(n\)-te Ableitung teilst du \(n\) durch \(4\). Der Rest zeigt dir die Station im Kreislauf.

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