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Lokale Änderungsrate

Dreißig interaktive Aufgaben zur Ableitung an einer Stelle — vom Lückentext über den Grenzprozess bis zur Frage, wo eine Tangente waagerecht liegt.

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben rund um die lokale Änderungsrate: Zuerst rechnest du Differenzenquotienten aus und kreist Grenzwerte numerisch ein, in der Mitte arbeitest du mit der Grenzwert-Lupe und mit Termen, die du kürzen musst, und am Ende schließt du von der Rate auf die Stelle zurück. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Der Weg zur lokalen ÄnderungsrateAFB I

Fülle den Text so aus, dass er den Grenzprozess von der Sekante zur Tangente beschreibt.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die lokale Änderungsrate gehört immer zu genau einer . Um sie zu bestimmen, legt man zunächst eine durch die Punkte \(P\) und \(Q\) und berechnet deren . Dann lässt man \(Q\) auf \(P\) zuwandern und bildet den der Differenzenquotienten. Die Gerade, der sich die Sekanten dabei annähern, heißt . Ihre Steigung ist \(f'(x_0)\). Einsetzen von \(x=x_0\) ist verboten, weil sonst der null wird.

Der Text folgt der Reihenfolge aus dem Merksatz: erst die Stelle, dann die Gerade durch zwei Punkte, ihre Steigung, der Grenzübergang und zuletzt die Gerade, die dabei entsteht.
A2Stimmt das über f′(x₀)?AFB I

Fünf Aussagen über die lokale Änderungsrate. Entscheide bei jeder, ob sie wahr oder falsch ist.

Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Halte Lage und Steigung sauber auseinander — und denke daran, was im Nenner passiert, wenn x genau gleich x₀ ist.
A3Ablesen aus der WertetabelleAFB I

Für \(f(x)=x^{3}\) sollen die Differenzenquotienten \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\) an der Stelle \(x_0=2\) untersucht werden. Die Tabelle zeigt: für \(x=2{,}1\) ergibt sich \(12{,}61\), für \(x=2{,}01\) ergibt sich \(12{,}0601\), für \(x=2{,}001\) ergibt sich \(12{,}006001\). Gib \(f'(2)\) an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Lies die Zahlen von oben nach unten: 12,61 — 12,0601 — 12,006001. Sie rücken immer näher an 12 heran. Der Grenzwert ist also \(f'(2)=12\).