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Lokale Änderungsrate

Die Sekante misst einen Durchschnitt über ein ganzes Intervall. Lassen wir den zweiten Punkt auf den ersten zuwandern, wird aus ihr die Tangente — und aus dem Durchschnitt ein Momentanwert.

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Von der Sekante zur Tangente

Der Tacho zeigt kein Mittel, sondern das Tempo genau jetzt. Diese Zahl erhältst du, indem du den zweiten Punkt immer dichter heranschiebst.

  • Fester Punkt:\(P(x_0\mid f(x_0))\) an der Stelle \(x_0\).
  • Beweglicher Punkt:\(Q(x\mid f(x))\) mit \(x\neq x_0\).
  • Sekantensteigung:\(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).
  • Problem:Bei \(x=x_0\) entsteht \(\frac{0}{0}\) – das ist keine Zahl.
  • Annähern:Rückt \(Q\) auf \(P\) zu, legen sich die Sekanten an eine feste Gerade an.
  • Tangente:Gerade, die den Graphen in \(P\) berührt (lat. tangere = berühren).
Die Kernskizze des Kapitels
x y f(x₀) x₀ f(x) x Q wandert auf P zu x → x₀ P Q f Tangente in P Sekante durch P und Q
Der Punkt \(P\) bleibt an der Stelle \(x_0\) stehen. Wandert \(Q\) auf der Kurve nach links auf \(P\) zu, dann wandert gleichzeitig \(x\) auf der x-Achse nach \(x_0\) — und die violette Sekante kippt in die grüne Tangente.

Schiebe \(Q\) mit dem Regler, der Maus oder den Tasten ← und → an \(P\) heran. Gezeichnet ist \(f(x)=4x-0{,}5x^2\). Die violette Sekante geht durch \(P\) und \(Q\), die grüne Tangente berührt den Graphen nur in \(P\). Das Readout rechnet den Differenzenquotienten bei jeder Änderung neu.

Sekante wird Tangente

x y P Q x₀ x

Verkleinere den Abstand und beobachte, wie sich der Differenzenquotient verhält. Stelle x: 4. f(x) − f(x₀): 2. x − x₀: 2. Differenzenquotient: 1. Tangentensteigung f′(x₀): 2.

Halte fest: Beim Abstand 0,01 ist die Sekante von der Tangente kaum noch zu unterscheiden. Null wird der Abstand nie.

Merke

Sekantensteigung: \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) mit \(P(x_0\mid f(x_0))\) und \(Q(x\mid f(x))\), \(x\neq x_0\); bei \(x=x_0\) entstünde \(\frac{0}{0}\).

Annähern: Rückt \(Q\) auf \(P\) zu, legen sich die Sekanten an eine feste Gerade an, die Tangente.

Tangente: Gerade, die den Graphen in \(P\) berührt.

Die lokale Änderungsrate als Grenzwert

Man schreibt \(x\to x_0\) („\(x\) strebt gegen \(x_0\)“). Den Wert, auf den der Differenzenquotient zuläuft, nennt man Grenzwert (\(\lim\), lat. limes).

  • Ableitung:\(f'(x_0)\), gesprochen „f Strich von \(x_0\)“.
  • Tangentensteigung:Steigung der Tangente in \(P\): \(m=f'(x_0)\).
  • Steigung des Graphen:wie steil es an der Stelle \(x_0\) bergauf oder bergab geht.
  • Momentane Änderungsrate:Deutung im Sachzusammenhang, z. B. Momentangeschwindigkeit.
  • Eine Stelle:Die Rate gehört zu genau einer Stelle \(x_0\), nicht zu einem Intervall.
Merke

Lokale Änderungsrate: \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).

Grenzwert: Der Wert, auf den der Differenzenquotient zuläuft, wenn \(x\to x_0\) („\(x\) strebt gegen \(x_0\)“).

Bedeutung: \(f'(x_0)\) (gesprochen „f Strich von \(x_0\)“) ist die Tangentensteigung in \(P\), im Sachzusammenhang die momentane Änderungsrate; sie gehört zu genau einer Stelle.

Den Grenzwert numerisch einkreisen

Setze für \(x\) Stellen immer dichter bei \(x_0\) ein. Ändern sich die vorderen Ziffern nicht mehr, hast du den Grenzwert.

Der Differenzenquotient \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\) für \(f(x)=x^2\) und Stellen \(x\), die von rechts gegen 2 laufen.
Stellex = 2,1x = 2,01x = 2,001x = 2,00001
Differenzenquotient4,14,014,0014,00001
  • Muster:Die Werte laufen auf 4 zu, also \(f'(2)=4\).
  • Notation:meist eine grobe und eine feine Näherung, z. B. mit \(x=2{,}01\) und \(x=2{,}00001\).
  • Beispiel:Fahrzeug mit \(f(t)=t^2\) (\(t\) in s, \(f\) in m): \(f'(2)=4\), \(f'(5)=10\), \(f'(8)=16\) in \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\).
  • Nicht verwechseln:Im Schnitt über 8 s sind es nur \(\frac{64}{8}=8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) – am Ende doppelt so viel.
  • Warum es klappt:Stark vergrößert sieht ein glatter Graph fast wie eine Gerade aus.

Vergrößere den Ausschnitt um \(t_0=6\) mit dem Regler, der Maus oder den Tasten ← und →. Ein Regenrückhaltebecken füllt sich nach \(V(t)=0{,}5t^2+2t\) mit \(t\) in min und \(V\) in m³. Betrachtet wird die Stelle \(t_0=6\) mit \(V(6)=30\). Die grüne Gerade ist die Tangente in diesem Punkt.

Die Lupe auf den Graphen

t = 4 t = 8 46 14 Ausschnitt um P(6 | 30) Zeit t (in min)

Zoome hinein und achte auf den Differenzenquotienten. Fensterbreite: 4 min. rechte Stelle t: 8. Differenzenquotient: 9. größter Abstand Graph zu Tangente: 2 m³.

Halte fest: Ab der dritten Zoomstufe fallen Graph und Tangente zusammen. Der Differenzenquotient nähert sich \(V'(6)=8\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{min}}\).

Merke

Numerisch einkreisen: Stellen \(x\) immer dichter bei \(x_0\) einsetzen; ändern sich die vorderen Ziffern des Differenzenquotienten nicht mehr, ist das der Grenzwert.

Beispiel: Für \(f(x)=x^2\) laufen die Werte bei \(x_0=2\) auf \(4\) zu, also \(f'(2)=4\).

Nicht verwechseln: Die lokale Rate gilt an einer Stelle, die mittlere Rate über ein Intervall.

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Lage oder Steigung?

Nico meint: „Bei \(t=3{,}5\) liegt der Graph höher als bei \(t=1\), also ist dort auch die Rate größer.“ Das ist falsch.

Wasserstand im Speicherbecken — steigen ist nicht gleich steigen
1 2 3 4 5 2 4 6 Zeit (in min) zurückgelegter Weg (in km) Weg-Zeit-Graph f Sekante über [0 ; 5]: m = 1,2 Tangente bei t = 1 — steiler Tangente bei t = 3,5 — flacher
Der Graph steigt überall. Die rote Tangente bei \(t = 1\) ist steiler als die grüne Sekante, die orange Tangente bei \(t = 3{,}5\) ist flacher — obwohl der Graph dort viel höher liegt.
  • Lage:Der Funktionswert \(f(t)\) sagt, wo du bist.
  • Steigung:Die Rate \(f'(t)\) sagt, wie schnell es weitergeht.
  • Im Bild:Bei \(t=1\) ist die Tangente steiler als bei \(t=3{,}5\), obwohl der Graph dort tiefer liegt.
  • Vergleich:Ein Auto bei Kilometer 300 fährt nicht automatisch schneller als bei Kilometer 100.
Merke

Lage und Steigung: Aus \(f(x_1)<f(x_2)\) folgt nicht \(f'(x_1)<f'(x_2)\).

Lage: Der Funktionswert \(f(t)\) sagt, wo du bist.

Steigung: Die Rate \(f'(t)\) sagt, wie schnell es dort weitergeht.

Verschiebe die Stellen \(A\) und \(B\) mit der Maus oder den Pfeiltasten und vergleiche Höhe und Steigung. Zwei Stellen, vier Zahlen: Suche eine Kombination, bei der die höhere Stelle die kleinere Änderungsrate hat.

Lage oder Steigung?

t (in h) W (in m³) A B

Vergleiche Höhe und Rate an den beiden Stellen. Höhe W(A): 0,86. Höhe W(B): 4,31. Rate W′(A): 1,4. Rate W′(B): 1,01.

Halte fest: In der Voreinstellung liegt \(B\) fünfmal so hoch wie \(A\) – und hat trotzdem die kleinere Rate.

Was die Zahl aussagt

Die lokale Änderungsrate hat eine Einheit und ein Vorzeichen. Beide gehören zur Deutung.

Das Vorzeichen der lokalen Änderungsrate
f′(x₀) > 0 Tangente steigt f′(x₀) = 0 Tangente waagerecht f′(x₀) < 0 Tangente fällt
Dieselbe Funktion, drei verschiedene Stellen: Die Tangente steigt, liegt waagerecht oder fällt. Das Vorzeichen von \(f'(x_0)\) entscheidet, ob die Größe gerade zunimmt, gleich bleibt oder abnimmt.
  • Einheit:\([f'(x_0)]=\frac{[y]}{[x]}\), z. B. \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) beim Speicherbecken.
  • \(f'(x_0)>0\):Der Graph steigt, die Größe nimmt gerade zu.
  • \(f'(x_0)=0\):waagerechte Tangente, typisch an Hoch- und Tiefpunkten.
  • \(f'(x_0)<0\):Der Graph fällt, die Größe nimmt gerade ab.
  • Betrag:sagt, wie schnell sich die Größe ändert.
  • Antwortsatz:Stelle, Zahlenwert, Einheit und Sachzusammenhang, z. B. „Nach 3 min steigt der Ballon mit \(25{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).“
Merke

Vorzeichen: \(f'(x_0)>0\) steigend, \(f'(x_0)=0\) waagerecht, \(f'(x_0)<0\) fallend.

Einheit: \([f'(x_0)]=\dfrac{[y]}{[x]}\); der Betrag sagt, wie schnell sich die Größe ändert.

Antwortsatz: Stelle, Zahlenwert, Einheit und Sachzusammenhang nennen.

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Allgemeine Hinweise

Nicht einsetzen

\(\lim\limits_{x\to x_0}\) heißt nicht „setze \(x=x_0\) ein“. Es beschreibt eine Annäherung, denn im Nenner stünde sonst null.

Höhe ist nicht Steigung

Ein hoch liegender Graph kann flach sein. Für die Rate schaust du auf die Neigung, nicht auf die Höhe.

GTR nutzen

Der Befehl d/dx berechnet die Näherung direkt. Er erwartet Funktion, Variable und Stelle.

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