Grafisches Differenzieren: Übungen – Mathe Klasse 11

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben zum grafischen Differenzieren. Zuerst prüfst du den Zusammenhang zwischen Steigung und Vorzeichen, dann rechnest du Steigungsdreiecke aus, vergleichst Sekante und Tangente und überträgst Punkte selbst in das untere Koordinatensystem. Danach stellst du eine vollständige Vorzeichentabelle auf, korrigierst ein fehlerhaftes Protokoll und gehst den Weg rückwärts — vom Graphen von \(f'\) zurück zum Verlauf von \(f\). Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Was der Graph von f über f′ verrätAFB I

In jeder Zeile steht eine Beobachtung am Graphen von \(f\). Kreuze an, was daraus für den Wert von \(f'(x)\) an dieser Stelle folgt.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Beobachtung am Graphen von f	f′(x) > 0	f′(x) = 0	f′(x) < 0
Der Graph von f steigt.
Der Graph von f fällt.
Die Tangente verläuft waagerecht.
Der Graph von f hat einen Hochpunkt.
Die Tangente steigt von links unten nach rechts oben.
Der Graph von f hat einen Tiefpunkt.
Die Tangente fällt von links oben nach rechts unten.

Entscheidend ist immer nur die Steigung der Tangente. Steigt der Graph, ist sie positiv; fällt er, ist sie negativ. Hoch- und Tiefpunkte haben eine waagerechte Tangente, also die Steigung \(0\) — und genau dort hat \(f'\) eine Nullstelle.

A2Das Verfahren in WortenAFB I

Fülle die Lücken so, dass eine korrekte Beschreibung des grafischen Differenzierens entsteht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zuerst suchst du alle Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von \(f\) verläuft. Dort hat \(f'\) jeweils eine . Steigt der Graph von \(f\), so verläuft der Graph von \(f'\) der x-Achse; fällt er, so verläuft \(f'\) der x-Achse. An einem von \(f\) hat der Graph von \(f'\) einen Hoch- oder Tiefpunkt. Allgemein wird die Steigung der Tangente an \(f\) zum von \(f'\).

Merksatz aus der Erklärung: Steigung wird zu Höhe. Was du oben als Steilheit siehst, trägst du unten als Funktionswert ein.

A3Die fünf Schritte ordnenAFB I

Bringe die Arbeitsschritte in die Reihenfolge, in der du beim grafischen Differenzieren vorgehst.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Waagerechte Tangenten suchen — dort liegen die Nullstellen von f′.

2Vorzeichen festlegen: Wo f steigt, liegt f′ oberhalb der x-Achse, wo f fällt, unterhalb.

3Wendepunkte von f markieren — dort liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt von f′.

4An einigen weiteren Stellen die Tangentensteigung abschätzen und als Punkt eintragen.

5Die eingetragenen Punkte zu einer glatten Kurve verbinden.

Erst die sicheren Stellen (Steigung \(0\)), dann die Vorzeichen, dann die Extremstellen von \(f'\) — und ganz zum Schluss wird gezeichnet. Wer sofort zeichnet, verrutscht fast immer.