Der Telematik-Tarif: Tempo aus dem Weg-Diagramm
Beim Telematik-Tarif zeichnet ein Gerät die Fahrt als Zeit-Weg-Diagramm auf. Leitfrage: Reicht das aus, um das Tempo zu beurteilen?
- Achsen:Zeit \(x\) in h nach rechts, Strecke \(f(x)\) in km nach oben.
- Tiefpunkt \(T(0 \mid 50)\):Start bei 50 km, waagerechte Tangente – das Auto steht noch.
- Steigender Ast:Zwischen \(x=0\) und \(x=6\) wächst die Strecke.
- Wendepunkt \(W(3 \mid 320)\):steilste Stelle – hier fährt das Auto am schnellsten.
- Hochpunkt \(H(6 \mid 590)\):waagerechte Tangente – das Auto steht.
- Tempo:steckt in der Steigung, Einheit \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Steigung ist Tempo: \([f']=\dfrac{[y]}{[x]}=\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
Zeit-Weg-Diagramm: Das Tempo steckt in der Steigung des Graphen.
Besondere Stellen: Waagerechte Tangente (Hoch- oder Tiefpunkt): Tempo \(0\), das Auto steht. Wendepunkt: steilste Stelle, höchstes Tempo.
Von der Tangente zum Punkt
Das Tempo in einem Augenblick ist die Tangentensteigung \(f'(x_0)\). Beim grafischen Differenzieren liest du sie mit einem Steigungsdreieck ab.
- Ableitung:\(f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) – hier nur abgelesen, nicht gerechnet.
- Ableitungsfunktion:Zu jeder Stelle gehört genau eine Tangentensteigung: \(x\mapsto f'(x)\).
- Übertragen:Tangente in \(x_0\) anlegen, Steigung \(m\) ablesen, unten \((x_0\mid m)\) eintragen.
- Telematik:\(f'(0)=0\), \(f'(3)=135\), \(f'(6)=0\), \(f'(8)=-240\) in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
- Negativ:Ab \(x=6\) fällt \(f\) – im Modell fährt das Auto zurück.
| Stelle \(x_0\) in h | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Steigung \(f'(x_0)\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) | 0 | 75 | 120 | 135 | 120 | 75 | 0 | −105 | −240 |
Punkt übertragen: \(\bigl(x_0 \mid f(x_0)\bigr)\) auf \(G_f\) \(\;\longrightarrow\;\) \(\bigl(x_0 \mid f'(x_0)\bigr)\) auf \(G_{f'}\).
Verfahren: Tangente in \(x_0\) anlegen, mit einem Steigungsdreieck die Steigung \(m=f'(x_0)\) ablesen und den Punkt \((x_0\mid m)\) im unteren Diagramm eintragen.
Vorzeichen: Fällt \(f\), ist \(f'\) negativ.
Schiebe die Tangente an eine Stelle, lies die Steigung ab und übertrage den Punkt nach unten. Die grüne Tangente liegt am Graphen von \(f\) an. Mit ← und → bewegst du sie in Zehntelschritten, mit Bild↑ und Bild↓ in ganzen Stunden.
Der Graph steigt hier am steilsten — das ist der schnellste Moment der Fahrt. Punkt auf dem Graphen von f: (3 | 320). Tangentensteigung m: 135 km/h. Übertragener Punkt: (3 | 135).
Halte fest: Bei \(x_0=0\) und \(x_0=6\) liegt die Tangente waagerecht. Der Punkt landet unten genau auf der \(x\)-Achse.
Das Verfahren in drei Schritten
Für eine Skizze von \(G_{f'}\) brauchst du keine Wertetabelle. Drei Schritte genügen.
- Wendepunkt:Der Graph wechselt die Krümmung und ist dort in seiner Umgebung am steilsten.
- Sattelpunkt:Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
- 1. Nullstellen:Jede waagerechte Tangente von \(f\) liefert eine Nullstelle von \(f'\).
- 2. Vorzeichen:\(f\) steigt \(\Rightarrow\) \(G_{f'}\) oberhalb der Achse; \(f\) fällt \(\Rightarrow\) unterhalb.
- 3. Extremwerte:Wendepunkte von \(f\) werden zu Hoch- oder Tiefpunkten von \(f'\); dann glatt verbinden.
Grafisch differenzieren: Waagerechte Tangente \(\to\) Nullstelle, steigend/fallend \(\to\) oberhalb/unterhalb, Wendepunkt \(\to\) Extrempunkt.
Wendepunkt: Der Graph wechselt die Krümmung und ist dort am steilsten; ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Drei Schritte: 1. Nullstellen von \(f'\) bei den waagerechten Tangenten. 2. \(f\) steigt \(\Rightarrow\) \(G_{f'}\) oberhalb der Achse, \(f\) fällt \(\Rightarrow\) unterhalb. 3. Wendepunkte von \(f\) werden Hoch- oder Tiefpunkte von \(f'\); glatt verbinden.
Beispiel \(f(x)=x^3-3x^2+2\): Hochpunkt bei \(x=0\), Tiefpunkt bei \(x=2\), Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\).
- Schritt 1:Nullstellen von \(f'\) bei \(x=0\) und \(x=2\).
- Schritt 2:\(f'\) positiv für \(x<0\) und \(x>2\), negativ dazwischen.
- Schritt 3:Im Wendepunkt fällt \(f\) am stärksten – dort hat \(f'\) einen Tiefpunkt; es entsteht eine nach oben geöffnete Parabel.
- Beispiel:\(f(x)=x^3-6x^2+40\) mit \(H(0 \mid 40)\), \(T(4 \mid 8)\), \(W(2 \mid 24)\).
- Nullstellen:\(f'(0)=0\) und \(f'(4)=0\).
- Wendetangente:durch \(W(2 \mid 24)\) und \((3 \mid 12)\): \(m=\frac{12-24}{3-2}=-12\), also \(f'(2)=-12\).
- Ergebnis:Parabel durch \((0\mid 0)\), \((2\mid -12)\), \((4\mid 0)\) – tatsächlich \(f'(x)=3x^2-12x\).
- Kontrolle:Beim Ableiten sinkt der Grad um eins.
Was \(f'\) verrät: die Übersetzungstabelle
Die drei Schritte lassen sich zu einer Tabelle verdichten. Sie übersetzt Merkmale von \(f\) in Merkmale von \(f'\).
| am Graphen von \(f\) | am Graphen von \(f'\) |
|---|---|
| Hochpunkt oder Tiefpunkt | Nullstelle mit Vorzeichenwechsel |
| Sattelpunkt | Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt) |
| Graph steigt | Graph verläuft oberhalb der \(x\)-Achse |
| Graph fällt | Graph verläuft unterhalb der \(x\)-Achse |
| Wendepunkt mit steilster Steigung | Hochpunkt |
| Wendepunkt mit steilstem Gefälle | Tiefpunkt |
- Sattelpunkt:\(f\) steigt davor und danach – \(G_{f'}\) berührt die Achse nur.
- Wendepunkt:steilster Anstieg \(\to\) Hochpunkt von \(f'\); steilstes Gefälle \(\to\) Tiefpunkt.
- Telematik:\(T(0\mid 50)\) und \(H(6\mid 590)\) \(\to\) Nullstellen; \(W(3\mid 320)\) \(\to\) Hochpunkt von \(f'\).
Extrempunkt von \(f\): Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel.
Sattelpunkt: Nullstelle von \(f'\) ohne Vorzeichenwechsel; \(G_{f'}\) berührt die Achse nur.
Verlauf: \(f\) steigt \(\Rightarrow\) \(G_{f'}\) oberhalb der \(x\)-Achse; \(f\) fällt \(\Rightarrow\) unterhalb.
Wendepunkt: Steilster Anstieg \(\to\) Hochpunkt von \(f'\); steilstes Gefälle \(\to\) Tiefpunkt von \(f'\).
Oben siehst du einen Graphen von \(f\), darunter drei Kandidaten. Nur einer passt – wähle per Klick oder mit Tab und Enter. Klicke einen Kandidaten an oder wähle ihn mit Tab aus und bestätige mit Enter. Arbeite die Tabelle von oben nach unten ab: erst Nullstellen, dann Vorzeichen.
Aufgabe 1: Wo hat dieser Graph eine waagerechte Tangente — und was folgt daraus für die Nullstellen von \(f'\)? Merkmale des Graphen von f: Parabel, Tiefpunkt bei x = 0. Deine Wahl: noch keine. Richtig gelöst: 0 von 3.
Halte fest: Bei Aufgabe 3 hat \(f\) einen Sattelpunkt. Nur ein Graph, der die Achse berührt, passt.
Skizzieren ohne Wertetabelle
Gegeben ist nur der Graph von \(f(x)=-x^4+8x^2+14\), die Strecke einer Sprinterin. Sammle zuerst die Stationen, dann verbinde.
- \(H(-2 \mid 30)\):\(f'(-2)=0\), Station \((-2 \mid 0)\).
- Wendepunkt \(x\approx-1{,}15\):steilstes Gefälle, etwa \(-12\) – Tiefpunkt von \(f'\).
- \(T(0 \mid 14)\):\(f'(0)=0\), Station \((0 \mid 0)\).
- Wendepunkt \(x\approx1{,}15\):steilster Anstieg, etwa \(+12\) – Hochpunkt von \(f'\).
- \(H(2 \mid 30)\):\(f'(2)=0\), Station \((2 \mid 0)\).
- Verbinden:Vorzeichenbereiche beachten – es entsteht eine Kurve dritten Grades.
- Sachkontext:\(f'\) ist immer eine Änderungsrate: Bestand \(\to\) Bestandsänderung, Strecke \(\to\) Geschwindigkeit.
Bedeutung von \(f'\): \(f'\) gibt an, wie schnell sich die Größe \(f\) ändert; \([f']=\dfrac{[y]}{[x]}\).
Skizzieren: Erst die Stationen sammeln: Extrempunkte von \(f\) werden Nullstellen von \(f'\), Wendepunkte werden Extrempunkte von \(f'\); dann unter Beachtung der Vorzeichenbereiche verbinden.
Sachkontext: \(f'\) ist immer eine Änderungsrate, z. B. Strecke \(\to\) Geschwindigkeit.
Allgemeine Hinweise
Steigung übertragen
Übertrage nie den Funktionswert nach unten. Ein hoher, aber flacher Graph gibt unten einen Wert nahe null.
Δx = 1 wählen
Zeichne das Steigungsdreieck mit \(\Delta x=1\). Dann ist seine Höhe direkt \(f'(x_0)\).
Symmetrie prüfen
Ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, ist \(G_{f'}\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Passt die Skizze nicht, prüfe sie noch einmal.