Von der Kurve zur Sekante
Ein krummer Graph ist an jeder Stelle anders steil. Für eine rechenbare Zahl betrachtest du nur Anfangs- und Endpunkt eines Intervalls.
- Intervall:Abschnitt \([a\,;\,b]\) mit \(a\neq b\).
- Randpunkte:\(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\); was dazwischen passiert, bleibt unberücksichtigt.
- Sekante:Gerade durch \(P\) und \(Q\) (lat. secare = schneiden).
- Differenzenquotient:Steigung der Sekante – oben und unten steht je eine Differenz.
- Gleichbedeutend:durchschnittliche Änderungsrate = mittlere Steigung = Sekantensteigung.
- Einheit:\([m]=\frac{[y]}{[x]}\), z. B. m/min.
Durchschnittliche Änderungsrate: \(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) mit \(a\neq b\); sie ist die Steigung der Sekante durch \(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\).
Gleichbedeutend: Differenzenquotient, mittlere Steigung, Sekantensteigung.
Einheit: \([m]=\frac{[y]}{[x]}\), z. B. m/min; was zwischen \(a\) und \(b\) passiert, bleibt unberücksichtigt.
Der Differenzenquotient in der Anwendung
Die Flughöhe eines Modellflugzeugs wird über der Zeit aufgetragen. Die Rate fragt nur: Wie viel Höhe kam insgesamt dazu, und in welcher Zeit?
- Messpunkte:\(A(10\mid 50)\), \(B(30\mid 300)\), \(C(60\mid 600)\), \(D(90\mid 150)\); \(x\) in min, \(f(x)\) in m.
- Steigflug:\(m_1=\frac{300-50}{30-10}=\frac{250}{20}=12{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).
- Sinkflug:\(m_2=\frac{150-600}{90-60}=\frac{-450}{30}=-15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).
- Deutung:Das Minus heißt „fällt“ – das Flugzeug verliert im Schnitt 15 m pro Minute.
- Steiler:Es zählt der Betrag: \(|-15|>|12{,}5|\), der Sinkflug ist steiler.
Rechnen: Aus zwei Punkten den Differenzenquotienten \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) bilden, mit Einheit.
Vorzeichen: Das Minus heißt „fällt“.
Vergleichen: Es zählt der Betrag: Der Verlauf mit dem größeren \(|m|\) ist steiler.
Große Rate, steiler Verlauf
Vergleichst du gleich breite Intervalle, zeigt die Rate, wo der Graph steiler ist.
- \(m>0\):Die Sekante steigt.
- \(m<0\):Die Sekante fällt.
- \(m=0\):Anfangs- und Endwert sind gleich, \(f(b)=f(a)\) – dazwischen kann trotzdem viel passieren.
- Steilheit:Je größer \(|m|\), desto steiler verläuft der Graph im Mittel.
Steilheit: Größerer Betrag \(|m|\) \(\Rightarrow\) steilerer Verlauf im Intervall.
Vorzeichen: \(m>0\): die Sekante steigt; \(m<0\): sie fällt; \(m=0\): \(f(b)=f(a)\), dazwischen kann trotzdem viel passieren.
Ausblick: Rückt \(b\) dicht an \(a\), schmiegt sich die Sekante an den Graphen an.
Ziehe die Randpunkte mit der Maus oder wähle sie mit Tab und verschiebe sie mit ← und →. Beide Punkte lassen sich entlang des Graphen in Schritten von 0,5 verschieben. Das Readout rechnet den Differenzenquotienten sofort mit.
Verschiebe P oder Q, um das Intervall zu ändern. Intervall: [2 ; 7]. f(b) − f(a): −1,25. b − a: 5. Änderungsrate m: −0,25.
Halte fest: Schiebst du \(b\) dicht an \(a\) heran, schmiegt sich die Sekante an den Graphen an – das ist der Start für das nächste Kapitel.
Raten aus einer Wertetabelle
Ohne Funktionsterm genügen zwei Wertepaare aus einer Messreihe. Hier: Ladestand eines E-Bike-Akkus in Prozent über der Zeit in Minuten.
| Zeit x in min | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ladestand f(x) in % | 8 | 26 | 48 | 68 | 82 | 90 | 95 | 97 | 98 | 99 |
- Einheit:\([m]=\frac{\%}{\text{min}}\).
- Beispiel:\([0\,;\,90]\): \(m=\frac{99-8}{90-0}=\frac{91}{90}\approx1{,}01\,\frac{\%}{\text{min}}\).
- Nur Randwerte:Die Werte dazwischen werden nicht gebraucht.
- Gleich breite Teile:Nur dann ergibt der Mittelwert der Einzelraten die Gesamtrate.
Wähle zwei Messpunkte per Klick oder mit Tab und Enter. Suchauftrag: Finde die beiden Messpunkte, zwischen denen die durchschnittliche Änderungsrate am größten ist.
Wähle zwei der zehn Messpunkte aus. Gewähltes Intervall: —. Änderung des Ladestands: —. Änderungsrate m: —. Bisheriger Bestwert: —.
Halte fest: Am steilsten ist es zwischen Minute 10 und 20. Danach werden die Sekanten immer flacher.
Aus einer Wertetabelle: Zwei Wertepaare genügen, \(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\); nur die Randwerte werden gebraucht.
Einheit: \(\frac{\%}{\text{min}}\) bei Ladestand in Prozent über der Zeit in Minuten.
Gesamtrate: Nur bei gleich breiten Teilintervallen ergibt der Mittelwert der Einzelraten die Gesamtrate.
Was die Zahl verschweigt
Die Rate kennt nur die beiden Randpunkte. Verschiedene Verläufe können dieselbe Rate haben.
Wähle mit den Schaltflächen oder mit ← und → einen der drei Wege von \(P(1\mid 1)\) nach \(Q(7\mid 7)\). Dieselben Randpunkte, drei sehr verschiedene Verläufe. Achte darauf, welcher Wert im Readout konstant bleibt.
Weg A ist die Sekante selbst: Hier stimmt jede Teilrate mit der Gesamtrate überein. Änderungsrate auf [1 ; 7]: 1. Steilster Ein-Schritt-Abschnitt: 1. Flachster Ein-Schritt-Abschnitt: 1.
Halte fest: Die Rate bleibt bei allen Wegen \(m=\frac{7-1}{7-1}=1\). Weg C fällt am Anfang sogar.
- Brauchst du:zwei Punkte mit \(a\neq b\) – aus Graph, Tabelle oder Term.
- Ergebnis:eine Zahl mit Einheit; Vorzeichen = Richtung, Betrag = Steilheit.
- Verschweigt:jede Schwankung zwischen \(a\) und \(b\) – gib daher immer das Intervall an.
Was die Rate verschweigt: Verschiedene Verläufe zwischen \(a\) und \(b\) können dieselbe Rate haben, z. B. \(m=\frac{7-1}{7-1}=1\).
Brauchst du: Zwei Punkte mit \(a\neq b\) aus Graph, Tabelle oder Term.
Ergebnis: Eine Zahl mit Einheit; Vorzeichen gibt die Richtung, Betrag die Steilheit.
Intervall: Immer angeben, denn Schwankungen dazwischen bleiben verborgen.
Allgemeine Hinweise
Gleiche Reihenfolge
Zu \(f(b)-f(a)\) gehört im Nenner \(b-a\). Drehst du nur eine Differenz um, stimmt das Vorzeichen nicht.
Vorzeichen abschätzen
Liegt \(Q\) höher als \(P\), muss \(m\) positiv sein. Passt dein Ergebnis nicht dazu, prüfe Zähler und Nenner.
Steil ist nicht groß
Es gilt \(-15<12{,}5\), aber \(|-15|>|12{,}5|\). Für die Steilheit vergleichst du Beträge.