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Ableitung an einer Stelle

Für \(f(x)=x^2\) wird die Ableitung an der Stelle 0,5 ohne Rechnerbefehl bestimmt — allein über Sekantensteigungen, die von beiden Seiten gegen einen Wert laufen.

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Die Aufgabe: Tangentensteigung in \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\)

Für \(f(x)=x^2\) soll die Ableitung an der Stelle 0,5 möglichst genau bestimmt werden – ohne Rechner, nur mit dem Differenzenquotienten.

  • Punkt:\(f(0{,}5)=0{,}5^2=0{,}25\), also \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\).
  • Gesucht:die Steigung der Tangente in \(P\).
  • Ablesen reicht nicht:Schon eine leicht schiefe Gerade ändert die Steigung deutlich.
Die Normalparabel mit dem Punkt \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\)
x y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,1 0,2 0,3 f Tangente 0,25 P
Der Ausschnitt zeigt nur den Bereich um \(x=0{,}5\). Die rot gestrichelten Hilfslinien führen von \(P\) zu den beiden Achsen; die grüne Gerade berührt den Graphen in \(P\).
Merke

Aufgabe: Gesucht ist die Steigung der Tangente an \(f(x)=x^2\) im Punkt \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\), nur mit dem Differenzenquotienten.

Idee: Ablesen am Bild reicht nicht, schon eine leicht schiefe Gerade ändert die Steigung deutlich.

Sekante statt Tangente: die erste Näherung

Statt der Tangente berechnest du eine Sekante durch \(P\) und einen nahen Punkt \(Q(x \mid f(x))\). Ihre Steigung ist eine gute Näherung.

  • Sekantensteigung:\(m=\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\).
  • Beispiel:\(x=0{,}51\): \(m=\frac{0{,}2601-0{,}25}{0{,}01}=\frac{0{,}0101}{0{,}01}=1{,}01\).
  • Näher heran:Je dichter \(Q\) an \(P\) liegt, desto weniger unterscheiden sich Sekante und Tangente.

Verschiebe \(Q\) auf dem Graphen; \(P\) bleibt fest. Vergleiche die Sekante mit der gestrichelten Tangente. Zieh \(Q\) mit der Maus, benutze den Schieberegler oder wähle eine der Stellen aus der Tabelle. Mit den Pfeiltasten bewegst du \(Q\) in kleinen Schritten.

Q wandert auf P zu

x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,1 0,2 0,3 0,4 f Tangente in P Sekante durch P und Q P Q

Die Sekante ist noch deutlich steiler als die Tangente: m = 1,12 statt 1. Stelle von Q: x = 0,62. f(x) − f(0,5): 0,1344. x − 0,5: 0,12. Sekantensteigung m: 1,12.

Halte fest: Bei \(x=0{,}51\) liegen beide Geraden fast aufeinander, die Steigungen unterscheiden sich aber noch um 0,01.

Merke

Sekante statt Tangente: Die Sekante durch \(P\) und einen nahen Punkt \(Q(x \mid f(x))\) liefert eine Näherung: \(m=\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\).

Näher heran: Je dichter \(Q\) an \(P\) liegt, desto weniger unterscheiden sich Sekante und Tangente.

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Von rechts und von links

Du rückst \(Q\) immer dichter an \(P\) heran – erst von rechts, dann von links. Erzeuge die Werte selbst: Jeder Schritt rückt \(x\) um eine Dezimalstelle näher an 0,5 heran. Die Skala ist pro Schritt zehnfach vergrößert, damit die Punkte sichtbar bleiben.

Schritt für Schritt an die 1 heran

Grenzwert 1 von links von rechts Die Skala ist pro Schritt zehnfach vergrößert: Jeder Schritt bringt eine Dezimalstelle mehr.

Starte mit einem Schritt von rechts: \(x=0{,}51\) liefert die Sekantensteigung 1,01. Letzter Wert von rechts: —. Letzter Wert von links: —. Größter Abstand zu 1: —.

Halte fest: Von rechts und von links laufen die Sekantensteigungen auf denselben Wert 1 zu.

von rechts
\(x\)0,510,5010,50010,500010,500001
\(\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\)1,011,0011,00011,000011,000001
von links
\(x\)0,490,4990,49990,499990,499999
\(\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}\)0,990,9990,99990,999990,999999
  • Von rechts:Die Werte laufen von oben auf 1 zu.
  • Von links:Die Werte laufen von unten auf 1 zu.
  • Nie erreicht:Bei \(x=0{,}5\) wäre der Nenner null.
Merke

Annäherung: \(Q\) wird von rechts und von links an \(P\) herangeschoben; von rechts laufen die Werte von oben, von links von unten auf \(1\) zu.

Wichtig: Bei \(x=0{,}5\) selbst wäre der Nenner null, der Wert wird nie erreicht.

Das Ergebnis: \(f'(0{,}5)=1\)

Von beiden Seiten ist der Grenzwert 1. Die Tangente in \(P\) hat also die Steigung 1.

Merke

Ergebnis: \(f'(0{,}5)=\lim\limits_{x\to 0{,}5}\dfrac{f(x)-f(0{,}5)}{x-0{,}5}=1\).

Antwort: Von beiden Seiten ist der Grenzwert \(1\); die Tangente in \(P\) hat die Steigung \(1\).

  • Probe am Bild:0,2 nach rechts, 0,2 nach oben: \(\frac{0{,}2}{0{,}2}=1\).
Steigungsdreieck an der Tangente in \(P\)
x y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f Tangente 0,2 nach rechts 0,2 nach oben P
Das rote Steigungsdreieck gehört zur Tangente, nicht zur Parabel. Es bestätigt die berechnete Steigung \(m=1\).
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Allgemeine Hinweise

Beide Seiten prüfen

Ein Grenzwert existiert nur, wenn rechts und links derselbe Wert herauskommt. Hier schließen 1,000001 und 0,999999 die 1 ein.

Nicht einsetzen

\(x=0{,}5\) darfst du nicht einsetzen, sonst steht unten null. Rechne mit Stellen in der Nähe.

Nicht zu früh runden

Rechne die Funktionswerte exakt, z. B. \(0{,}51^2=0{,}2601\). Gerundete Werte verfälschen den Quotienten stark.

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