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Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zur allgemeinen Rechnung mit \(h\) und zur Potenzregel. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: ausmultiplizieren, kürzen, Grenzwert bilden — und die Regel anschließend vorwärts wie rückwärts anwenden.
1Der Zähler des DifferenzenquotientenAFB I
\(f(x)=x^{2}\). Für die Stelle \(x\) und die Schrittweite \(h\) lautet der Zähler \((x+h)^{2}-x^{2}\).
Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen.
Schreibweise: Potenzen mit
^ (also 3x^2), Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.\((x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}\). Das \(x^{2}\) fällt weg, es bleibt \(2xh+h^{2}\). Beide Summanden enthalten den Faktor \(h\) — genau deshalb lässt sich der Bruch später kürzen.
2Die h-Methode für x³ mit ZahlenAFB II
\(f(x)=x^{3}\), Stelle \(x_0=2\). Rechnen Sie den Differenzenquotienten für \(h=0{,}1\) aus und vergleichen Sie ihn anschließend mit dem Grenzwert.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist \(f(2)\)?
- Wie groß ist \(f(2{,}1)=2{,}1^{3}\)?
- Wie groß ist der Zähler \(f(2{,}1)-f(2)\)?
- Und die Sekantensteigung \(1{,}261:0{,}1\)?
- Welchen Wert liefert die Potenzregel für \(f\,\'(2)\)?
\(\dfrac{(2+h)^{3}-8}{h}=12+6h+h^{2}\); für \(h=0{,}1\) sind das \(12+0{,}6+0{,}01=12{,}61\). Für \(h\to 0\) bleibt \(12=3\cdot 2^{2}\).
3Ableitung von x² an einer StelleAFB I
\(f(x)=x^{2}\). Berechnen Sie \(f\,\'(4)\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f\,\'(x)=2x\), also \(f\,\'(4)=8\). Die Tangente im Punkt \((4\mid 16)\) steigt um 8 Einheiten pro Einheit nach rechts.