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Die Ableitung von x²

Statt für jede Stelle neu zu rechnen, wird die Ableitung an einer beliebigen Stelle \(x_0\) bestimmt — mit dem Abstand \(h\), einer binomischen Formel und einem Kürzungsschritt.

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Eine beliebige Stelle: der Abstand \(h\)

Statt an einer festen Zahl leitest du \(f(x)=x^{2}\) jetzt an einer beliebigen Stelle \(x_0\) ab. So entsteht eine Formel für jede Stelle.

  • Gesucht:\(f'(x_0)\) für \(f(x)=x^{2}\) – ohne Tabellen mit Sekantensteigungen.
  • Punkte:\(P\) liegt bei \(x_0\), \(Q\) bei \(x\).
  • Abstand:\(x=x_0+h\) – \(h\) ist die Strecke von \(x_0\) nach rechts.
  • Grenzübergang:Aus \(x\to x_0\) wird \(h\to 0\).
  • Nenner:\(x_0+h-x_0=h\) – nur noch ein Buchstabe, den du später kürzt.
Die beiden Stellen \(x_0\) und \(x_0+h\)
x y 1 2 3 2 4 6 8 f(x) = x² Sekante h f(x₀+h) − f(x₀) x₀ x₀ + h P Q
Das rote Steigungsdreieck gehört zur Sekante durch \(P\) und \(Q\). Die waagerechte Kathete ist genau \(h\), die senkrechte ist der Zuwachs \(f(x_0+h)-f(x_0)\).
Merke

Differenzenquotient mit \(h\): \(m=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).

Abstand: \(x=x_0+h\), also \(x_0+h-x_0=h\); der Grenzübergang \(x\to x_0\) wird zu \(h\to0\).

Ziel: Eine Formel für \(f'(x_0)\) an jeder beliebigen Stelle.

Stell \(x_0\) und \(h\) ein und vergleiche die Sekante mit der Tangente. Zieh \(Q\) mit der Maus über den Graphen oder benutze die beiden Schieberegler. Mit den Pfeiltasten veränderst du \(h\) in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springst du auf \(h=0{,}05\).

h wird kleiner

x y 1 2 3 2 4 6 8 f(x) = x² h Tangente in P Sekante durch P und Q P Q

Bei h = 1 ist die Sekante noch deutlich steiler als die Tangente. Zähler f(x0+h) − f(x0): 3. Nenner h: 1. Sekantensteigung m: 3. Tangentensteigung 2x0: 2.

Halte fest: Die Sekantensteigung ist immer um genau \(h\) größer als die Tangentensteigung \(2x_0\).

Die Rechnung für \(f(x)=x^{2}\)

Der Zähler wird so weit vereinfacht, dass sich \(h\) kürzen lässt. Erst dann folgt der Grenzübergang \(h\to0\).

Herleitung:

  • Ansatz:\(f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{\,2}}{h}\).
  • Binomische Formel:\((x_0+h)^{2}=x_0^{\,2}+2x_0h+h^{2}\).
  • Vereinfachen:\(x_0^{\,2}\) hebt sich weg, es bleibt \(\dfrac{2x_0h+h^{2}}{h}=\dfrac{h\,(2x_0+h)}{h}\).
  • Kürzen:\(\lim\limits_{h\to 0}\,(2x_0+h)\).
  • Grenzwert:Für \(h\to0\) fällt \(h\) weg, es bleibt \(2x_0\).
Merke

Ableitung von \(x^{2}\): \(f(x)=x^{2} \;\Longrightarrow\; f'(x)=2x\).

Rechenweg: \(\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{\,2}}{h}=\dfrac{2x_0h+h^{2}}{h}=2x_0+h\); erst kürzen, dann \(h\to0\).

Deutung: Links vom Scheitel fällt die Parabel (\(f'<0\)), rechts steigt sie (\(f'>0\)); bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht.

  • Beispiel:\(f'(3)=6\); \(f'(-2)=-4\); \(f'(0)=0\).
  • Links vom Scheitel:Die Parabel fällt, \(f'(x)\) ist negativ.
  • Rechts vom Scheitel:Die Parabel steigt, \(f'(x)\) ist positiv.
  • Scheitel:Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, denn \(f'(0)=0\).
Wie groß ist der Anstieg an den Stellen \(-2\), \(0\) und \(2\)?
x y −2 −1 1 2 2 4 6 f(x) = x² f′(x) = 2x f′(−2) = −4 f′(2) = 4 f′(0) = 0
Die drei Tangenten gehören zu den Rechnungen \(f'(2)=2 \cdot 2 = 4\), \(f'(0)=2 \cdot 0 = 0\) und \(f'(-2)=2 \cdot (-2) = -4\).
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Derselbe Weg für \(f(x)=x^{3}\)

Für \(f(x)=x^{3}\) ist der Rechenweg derselbe. Nur die binomische Formel ist eine andere.

  • Binomische Formel:\((x_0+h)^{3}=x_0^{\,3}+3x_0^{\,2}h+3x_0h^{2}+h^{3}\).
  • Ausklammern:Nach dem Wegfallen von \(x_0^{\,3}\) bleibt \(h\,(3x_0^{\,2}+3x_0h+h^{2})\).
  • Grenzwert:Nach dem Kürzen liefert \(h\to0\) den Wert \(3x_0^{\,2}\).

Deck die Rechnung Zeile für Zeile auf und überlege vorher, was als Nächstes passiert. Mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten deckst du die nächste Zeile auf; die Eingabetaste setzt alles zurück. Unter der Rechnung steht jeweils, was in diesem Schritt gemacht wurde.

Die Rechnung Zeile für Zeile

Gegeben: f(x) = x³ — Gesucht: f′(x₀) f′(x₀) = lim x → x₀ f(x) − f(x₀) x − x₀ = lim h → 0 f(x₀+h) − f(x₀) x₀ + h − x₀ = lim h → 0 f(x₀+h) − f(x₀) h = lim h → 0 (x₀+h)³ − x₀³ h = lim h → 0 x₀³ + 3x₀²h + 3x₀h² + h³ − x₀³ h = lim h → 0 3x₀²h + 3x₀h² + h³ h = lim h → 0 h · (3x₀² + 3x₀h + h²) h = lim h → 0 3x₀² + 3x₀h + h² = 3x₀²

Der Differenzenquotient in der x-Form: die Ableitung ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. Aufgedeckte Zeilen: 1 von 9. Stand der Rechnung: Differenzenquotient.

Halte fest: Der Aufbau ist wie bei \(x^{2}\): umschreiben, ausmultiplizieren, \(h\) ausklammern, kürzen, Grenzübergang.

Merke

Ableitung von \(x^{3}\): \(f(x)=x^{3} \;\Longrightarrow\; f'(x)=3x^{2}\).

Rechenweg: Mit \((x_0+h)^{3}=x_0^{\,3}+3x_0^{\,2}h+3x_0h^{2}+h^{3}\) bleibt nach dem Wegfallen von \(x_0^{\,3}\) und dem Ausklammern \(h\,(3x_0^{\,2}+3x_0h+h^{2})\); nach dem Kürzen liefert \(h\to0\) den Wert \(3x_0^{\,2}\).

Vom Muster zur Potenzregel

Schreibst du die Ergebnisse untereinander, wird ein Muster sichtbar. Es gilt für jeden Exponenten.

Die Tabelle aus dem Unterricht: links die Funktion, rechts ihre Ableitung
f(x)f′(x)
x²2x
x³3x²
x⁴4x³
x⁵5x⁴
⋮⋮
xⁿn · xⁿ⁻¹
  • Erster Schritt:Den Exponenten als Faktor vor die Potenz schreiben.
  • Zweiter Schritt:Den Exponenten um eins verkleinern.
  • Beispiel:\(x^{4}\Rightarrow 4x^{3}\); \(x^{5}\Rightarrow 5x^{4}\).
  • Probe:Für \(n=2\) und \(n=3\) liefert die Regel \(2x\) und \(3x^{2}\).

Stell den Exponenten ein und vergleiche links den Graphen von \(f\) mit dem von \(f'\) rechts. Wähle den Exponenten \(n\) mit den Schaltflächen, dem Schieberegler oder den Pfeiltasten. Links steht der Graph von \(f\), rechts der Graph von \(f'\).

Exponent umstellen

x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 f x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 f′

Für n = 2 ist die Ableitung die Gerade f′(x) = 2x. An der Stelle 1 beträgt die Steigung 2. Funktion: f(x) = x². Ableitung: f′(x) = 2x. Steigung an der Stelle 1: 2.

Halte fest: Die Ableitung hat immer einen Grad weniger als die Funktion selbst.

Merke

Potenzregel: \(f(x)=x^{n} \;\Longrightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\), \(n\in\mathbb{Q}^{*}\).

Vorgehen: Den Exponenten als Faktor vor die Potenz schreiben und ihn um eins verkleinern: \(x^4\Rightarrow4x^3\).

Gültigkeit: Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten; die Ableitung hat einen Grad weniger als die Funktion.

  • Gültigkeit:Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten.
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Allgemeine Hinweise

Erst kürzen

Setze \(h=0\) erst ein, wenn \(h\) nicht mehr im Nenner steht. Vorher wäre der Nenner null.

Binomische Formel

\((x_0+h)^{2}\) ist nicht \(x_0^{\,2}+h^{2}\). Der Mittelterm \(2x_0h\) trägt das Ergebnis.

Exponent nach vorn

Der Exponent wird Faktor und dann um eins kleiner. So leitest du jede Potenz in einer Zeile ab.

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