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Übungsaufgaben
Dreißig Aufgaben zur Funktion \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) und zur Potenzregel mit negativen Exponenten. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen mit Brüchen: Sekantensteigungen bestimmen, Doppelbrüche zusammenfassen und Ableitungswerte exakt angeben.
1Eine Sekante an der HyperbelAFB I
Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) mit \(P(1\mid 1)\) und \(Q(2\mid 0{,}5)\).
Berechnen Sie die Steigung der Sekante durch \(P\) und \(Q\).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(m=\dfrac{0{,}5-1}{2-1}=\dfrac{-0{,}5}{1}=-0{,}5\). Die Sekante fällt — die Hyperbel fällt auf dem rechten Ast überall.
2Die Ableitung als BruchAFB I
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\) hat die Ableitung \(f\,\'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\). Berechnen Sie \(f\,\'(3)\) und geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
\(f\,\'(3)=-\dfrac{1}{3^{2}}=-\dfrac{1}{9}\). Das Minus gehört in den Zähler, das Quadrat in den Nenner — \(-\tfrac19\) ist ungefähr \(-0{,}11\), die Hyperbel ist dort schon recht flach.
3Sekantensteigung Schritt für SchrittAFB II
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\), Stelle \(x_0=2\), Schrittweite \(h=0{,}5\). Rechnen Sie den Differenzenquotienten aus und vergleichen Sie ihn mit der Ableitung.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist \(f(2)\)?
- Wie groß ist \(f(2{,}5)\)?
- Wie groß ist der Zähler \(f(2{,}5)-f(2)\)?
- Und die Sekantensteigung \(-0{,}1:0{,}5\)?
- Welchen Wert hat \(f\,\'(2)=-\dfrac{1}{2^{2}}\) exakt?
Die Sekantensteigung \(-0{,}2\) liegt schon nah an der Tangentensteigung \(-0{,}25\). Mit der Formel \(m=-\dfrac{1}{x_0(x_0+h)}=-\dfrac{1}{2\cdot 2{,}5}=-0{,}2\) geht es in einem Schritt.