Die Hyperbel und ihre Sekanten
Die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) wird einmal von Hand abgeleitet. Ihr Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen.
- Definitionsbereich:\(x\neq0\), denn durch null darfst du nicht teilen.
- Punkte:\(P\left(x_0 \mid \frac{1}{x_0}\right)\) und \(Q\left(x \mid \frac{1}{x}\right)\) mit \(x\neq x_0\).
- Schreibweise:Du bleibst bei \(x\) – die \(h\)-Substitution ist hier nicht nötig.
- Ansatz:\(m=\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}\) – ein Doppelbruch.
Verschiebe \(Q\) auf dem rechten Ast und beobachte die Sekantensteigung. Zieh \(Q\) mit der Maus über den Graphen oder benutze die Schieberegler. Mit den Pfeiltasten verschiebst du \(Q\) in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springt \(Q\) dicht an \(P\) heran.
Die Sekante fällt: m = −0,926. Schieb Q näher an P heran. Sekantensteigung m: −0,926. Wert von x · x0: 1,08. Tangentensteigung in P: −2,778.
Halte fest: Die Steigung ist immer negativ. Je größer das Produkt \(x\cdot x_0\), desto flacher die Sekante.
Hyperbel: Der Graph von \(f(x)=\frac1x\) hat zwei Äste; der Definitionsbereich ist \(x\neq0\).
Ansatz: Mit \(P\left(x_0 \mid \frac{1}{x_0}\right)\) und \(Q\left(x \mid \frac{1}{x}\right)\) gilt \(m=\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}\), ein Doppelbruch.
Steigung: Die Sekantensteigung ist immer negativ.
Die Sekantensteigung ausrechnen
Der Doppelbruch wird mit dem Hauptnenner \(x\cdot x_0\) aufgelöst.
- Hauptnenner:\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}=\dfrac{x_0-x}{x\cdot x_0}\).
- Einsetzen:\(m=\dfrac{1}{x\cdot x_0}\cdot\dfrac{x_0-x}{x-x_0}\).
- Vorzeichen:\(x_0-x=-1\cdot(x-x_0)\), der zweite Bruch ergibt \(-1\).
- Ergebnis:\(m=-\dfrac{1}{x\cdot x_0}\) – die Differenz \(x-x_0\) steht nicht mehr im Nenner.
Sekantensteigung: \(\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=-\dfrac{1}{x\cdot x_0}\).
Rechenweg: Mit dem Hauptnenner \(x\cdot x_0\) ist \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}=\dfrac{x_0-x}{x\cdot x_0}\); wegen \(x_0-x=-(x-x_0)\) kürzt sich die Differenz \(x-x_0\) weg.
Der Grenzübergang: die Tangentensteigung
Läuft \(x\) gegen \(x_0\), geht \(x\cdot x_0\) gegen \(x_0^{\,2}\). Nach dem Vereinfachen ist das Einsetzen erlaubt.
- Grenzwert:\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(-\frac{1}{x\cdot x_0}\right)=-\frac{1}{x_0^{\,2}}\).
- Vorzeichen:\(x^2>0\), also ist \(f'(x)\) für jedes \(x\neq0\) negativ.
- Nahe null:Die Tangente wird extrem steil.
- Weit draußen:Die Tangente wird fast waagerecht.
Ableitung von \(\frac{1}{x}\): \(f(x)=\dfrac{1}{x} \;\Longrightarrow\; f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\).
Grenzübergang: Erst vereinfachen, dann einsetzen: für \(x\to x_0\) geht \(x\cdot x_0\) gegen \(x_0^{\,2}\).
Folgerung: \(f'(x)\) ist für jedes \(x\neq0\) negativ; nahe null ist die Tangente sehr steil, weit draußen fast waagerecht.
Verschiebe links die Stelle \(x_0\) auf der Hyperbel. Rechts wandert der Punkt auf dem Graphen von \(f'\) mit. Zieh den Punkt auf der linken Hyperbel oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten verschiebst du \(x_0\); die Eingabetaste wechselt zwischen den beiden Ästen.
An der Stelle 1 hat die Tangente die Steigung −1. Der rechte Punkt liegt deshalb bei −1. Funktionswert f(x0): 1. Tangentensteigung f′(x0): −1. Punkt auf dem Graphen von f′: (1 | −1).
Halte fest: Beide Äste des Ableitungsgraphen liegen unter der \(x\)-Achse.
Dasselbe mit der Potenzregel
Mit negativem Exponenten ist \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). Die Potenzregel liefert dasselbe Ergebnis in einer Zeile.
- \(\frac{1}{x}\):\(x^{-1}\;\Rightarrow\;-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\).
- Bruch:\(\frac{1}{x^n}=x^{-n}\).
- Wurzel:\(\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\).
- Beispiel:\(x^8\Rightarrow 8x^7\); \(x^{-3}\Rightarrow-\frac{3}{x^4}\); \(\sqrt[3]{x}\Rightarrow\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\).
- Danach:Ergebnis wieder als Bruch oder Wurzel schreiben.
Potenzregel: \(f(x)=x^{n} \;\Longrightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\), \(n\in\mathbb{Q}^{*}\).
Umschreiben: \(\frac1x=x^{-1}\), \(\frac{1}{x^n}=x^{-n}\), \(\sqrt[n]{x}=x^{\frac1n}\); danach ableiten und das Ergebnis wieder als Bruch oder Wurzel schreiben.
Beispiel: \(x^{-1}\Rightarrow-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\).
Die acht Grundableitungen
Die Tafel fasst alle bisher abgeleiteten Funktionstypen zusammen. Sechs Zeilen sind Anwendungen der Potenzregel.
Gehe die acht Fälle durch und vergleiche den Graphen von \(f\) mit dem von \(f'\). Wähle eine Funktion aus. Links erscheint ihr Graph, rechts der Graph ihrer Ableitung. Mit den Pfeiltasten wechselst du zwischen den Fällen, die Eingabetaste springt zum nächsten.
Eine konstante Funktion hat überall die Steigung null: Der Ableitungsgraph liegt auf der x-Achse. Funktion: f(x) = 3. Ableitung: f′(x) = 0.
Halte fest: Je größer der Exponent, desto steiler der Ableitungsgraph. Bei \(\sqrt{x}\) wird die Steigung klein, aber nie null.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \(f(x) = k\) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = mx + b\) | \(f'(x) = m\) |
| \(f(x) = x^{2}\) | \(f'(x) = 2x\) |
| \(f(x) = x^{3}\) | \(f'(x) = 3x^{2}\) |
| \(f(x) = x^{4}\) | \(f'(x) = 4x^{3}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}\) | \(f'(x) = -\dfrac{2}{x^{3}}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
- Exponenten:\(2\), \(3\), \(4\), \(-1\), \(-2\) und \(\tfrac12\) – alles Potenzregel.
- Konstante, Gerade:stammen aus der Wiederholung zu Beginn des Kapitels.
Grundableitungen: \(k\to0\); \(mx+b\to m\); \(x^2\to2x\); \(x^3\to3x^2\); \(x^4\to4x^3\); \(\frac1x\to-\frac1{x^2}\); \(\frac1{x^2}\to-\frac2{x^3}\); \(\sqrt{x}\to\frac1{2\sqrt{x}}\).
Potenzregel: Sechs dieser Fälle sind Anwendungen von \(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\).
Allgemeine Hinweise
Erst vereinfachen
Setze \(x=x_0\) erst ein, wenn \(x-x_0\) nicht mehr im Nenner steht. Vorher wäre der Nenner null.
Minus beim Exponenten
Aus \(x^{-1}\) wird \(x^{-2}\), nicht \(x^{0}\). Der Exponent wird um eins kleiner, also negativer.
Erst als Potenz schreiben
Schreibe Brüche und Wurzeln vor dem Ableiten als \(x^n\). Dann reicht die Potenzregel.