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Spiegelzuschnitt: immer genau 1 m²
AFBEine Glaserei schneidet rechteckige Wandspiegel zu, die alle genau \(1\ \text{m}^{2}\) groß sein sollen. Zur Breite \(x\) in Metern gehört dann die Höhe \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) in Metern.
M1 zeigt den Graphen von \(f\) und die Tangente im Punkt \(P\), der zu einem Spiegel mit 2 m Breite gehört.
M1Höhe eines 1-m²-Spiegels über der Breite
- Geben Sie die Höhen der Spiegel mit den Breiten 0,5 m, 1,25 m und 2 m an.Tipp a)Setzen Sie die Breite in \(f(x)=\tfrac{1}{x}\) ein. Kontrolle: Breite mal Höhe muss immer \(1\ \text{m}^{2}\) ergeben.
- Lesen Sie mithilfe des Steigungsdreiecks in M1 die Steigung der Tangente in \(P\) ab.Tipp b)Das gestrichelte Dreieck geht von \(P\) aus waagerecht nach rechts und dann senkrecht nach unten bis zur Tangente. Teilen Sie den senkrechten durch den waagerechten Weg – und achten Sie auf das Vorzeichen.
- Berechnen Sie mit \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\) die Steigungen des Graphen an den Stellen 0,5 und 1.Tipp c)Quadrieren Sie zuerst die Stelle, bilden Sie dann den Kehrwert und setzen Sie das Minuszeichen davor.
- Nennen Sie, was das Vorzeichen von \(f'(x)\) für einen Spiegel bedeutet, der etwas breiter zugeschnitten wird.Tipp d)Ist \(f'(x)\) positiv oder negativ – und was heißt das für die Höhe, wenn \(x\) ein wenig größer wird?
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