Die Klammer abwickeln
Eine Potenz in Klammern wird so oft als Faktor genommen, wie der äußere Exponent sagt.
- Beispiel:\((2^3)^2=2^3\cdot2^3=2^{3+3}=2^6\).
- Zählen:zwei Klammern mit je drei Faktoren — zusammen \(3\cdot2=6\) Faktoren.
- Unterschied:\(2^3\cdot2^2=2^5\) (addieren), aber \((2^3)^2=2^6\) (multiplizieren).
Jede Rolle steht für eine Klammer \(a^m\) und trägt m Faktoren. Stelle m und n ein und wickle alle n Rollen auf einen Streifen ab — dann zählst du die Faktoren direkt.
Halte fest: n Rollen mit je m Faktoren ergeben \(m\cdot n\) Faktoren — die Exponenten werden multipliziert.
Klammer abwickeln: \((2^3)^2=2^3\cdot2^3=2^6\); es entstehen \(3\cdot2=6\) Faktoren.
Regel: \(n\) Klammern mit je \(m\) Faktoren ergeben \(m\cdot n\) Faktoren – die Exponenten werden multipliziert.
Unterschied: \(2^3\cdot2^2=2^5\) (addieren), aber \((2^3)^2=2^6\) (multiplizieren).
Die Regel und ihre Anwendung
Herleitung:
Potenzieren von Potenzen: \((a^m)^n=a^{m\cdot n}=(a^n)^m\).
Produkt in der Klammer: Jeder Faktor bekommt den Exponenten: \((2x^3)^2=4x^6\).
Gilt auch für: rationale und negative Exponenten, z. B. \(\sqrt[3]{a^6}=\left(a^6\right)^{\frac13}=a^2\) und \(\left(a^{-2}\right)^3=a^{-6}\).
- Rationale Exponenten:\(\left(x^{\frac12}\right)^4=x^{2}\) und \(\sqrt[3]{a^6}=\left(a^6\right)^{\frac13}=a^2\).
- Negative Exponenten:\(\left(a^{-2}\right)^3=a^{-6}=\dfrac1{a^6}\).
- Produkt in der Klammer:\((2x^3)^2=2^2\cdot(x^3)^2=4x^6\) — jeder Faktor bekommt den Exponenten.
Allgemeine Hinweise
Addieren oder multiplizieren?
\(a^3\cdot a^4=a^7\), aber \((a^3)^4=a^{12}\). Klammer mit äußerem Exponenten heißt: multiplizieren.
\(2^{3^2}\) ist nicht \((2^3)^2\)
Ohne Klammer rechnet man den Exponenten zuerst: \(2^{3^2}=2^9=512\), aber \((2^3)^2=2^6=64\).
Jeder Faktor zählt
\((3a^2b)^3=27a^6b^3\) — auch die Zahl vorne wird potenziert, nicht nur die Variablen.